【创新设计】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第五章平面向量第3讲平面向量的数量积及其应用习题理新人教A版基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1.(2015·兰州诊断)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|a－b|＝________.解析|a－b|＝＝＝＝.答案2.(2015·南通调研)已知a＝(1，－2)，b＝(x，2)，且a∥b，则|b|＝________.解析 a∥b，∴＝，解得x＝－1，∴b＝(－1，2)，∴|b|＝＝.答案3.(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝(1，－2)，AD＝(2，1)，则AD·AC等于________.解析 四边形ABCD为平行四边形，∴AC＝AB＋AD＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1).∴AD·AC＝2×3＋(－1)×1＝5.答案54.(2016·东北三校联考)向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，(a＋b)⊥(2a－b)，则向量a与b的夹角为________.解析 (a＋b)⊥(2a－b)，∴(a＋b)·(2a－b)＝0，∴2a2－a·b＋2b·a－b2＝0，∴a·b＝0，∴向量a与b的夹角为90°.答案90°5.(2015·苏州调研)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则实数t的值为________.解析依题意得b·c＝ta·b＋(1－t)b2＝1－＝0，解得t＝2.答案26.(2015·湖北卷)已知向量OA⊥AB，|OA|＝3，则OA·OB＝________.解析因为OA⊥AB，所以OA·AB＝0.所以OA·OB＝OA·(OA＋AB)＝OA2＋OA·AB＝|OA|2＋0＝32＝9.答案97.(2016·河南六市联考)已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是________.解析设向量a和b的夹角为θ.由题意知(a－b)·a＝a2－a·b＝0，∴2－2cosθ＝0，1解得cosθ＝，∴θ＝.答案8.(2016·苏北四市调研)已知A(－1，cosθ)，B(sinθ，1)，若|OA＋OB|＝|OA－OB|(O为坐标原点)，则锐角θ＝________.解析法一利用几何意义求解：由已知可知，OA＋OB是以OA，OB为邻边作平行四边形OADB的对角线向量OD，OA－OB则是对角线向量BA，于是对角线相等的平行四边形为矩形.故OA⊥OB.因此OA·OB＝0，∴锐角θ＝.法二坐标法：OA＋OB＝(sinθ－1，cosθ＋1)，OA－OB＝(－sinθ－1，cosθ－1)，由|OA＋OB|＝|OA－OB|可得(sinθ－1)2＋(cosθ＋1)2＝(－sinθ－1)2＋(cosθ－1)2，整理得sinθ＝cosθ，于是锐角θ＝.答案二、解答题9.已知平面向量a＝(，－1)，b＝.(1)证明：a⊥b；(2)若存在不同时为零的实数k和t，使c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，试求函数关系式k＝f(t).(1)证明 a·b＝×－1×＝0，∴a⊥b.(2)解 c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，∴c·d＝[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝－ka2＋t(t2－3)b2＋[t－k(t2－3)]a·b＝0.又a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝1，a·b＝0，∴c·d＝－4k＋t3－3t＝0，∴k＝f(t)＝(t≠0).10.已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；(3)若AB＝a，BC＝b，求△ABC的面积.解(1) (2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6.∴cosθ＝＝＝－.又0≤θ≤π，∴θ＝.(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|22＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝.(3) AB与BC的夹角θ＝，∴∠ABC＝π－＝.又|AB|＝|a|＝4，|BC|＝|b|＝3，∴S△ABC＝|AB||BC|sin∠ABC＝×4×3×＝3.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2016·沈阳质量监测)在△ABC中，若|AB＋AC|＝|AB－AC|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC边的三等分点，则AE·AF＝________.解析法一由向量的几何意义可知，△ABC是以A为直角的直角三角形，E，F为BC的三等分点，不妨设AE＝AB＋AC，AF＝AB＋AC，因此AE·AF＝·＝AB2＋AC2＋AB·AC＝×4＋×1＝.法二由向量的几何意义可知，△ABC是以A为直角的直角三角形，以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，E，F为BC的三等分点，不妨设E，F，因此AE·AF＝×＋×＝.答案12.(2015·合肥质量检测)在△ABC中，设AC2－AB2＝2AM·BC，那么动点M的轨迹必通过△ABC的________.解析假设BC的中点是O.则AC2－AB2＝(AC＋AB)·(AC－AB)＝2AO·BC＝2AM·BC，即(AO－AM)·BC＝MO·BC＝0，所以MO⊥BC，所以动点M在线段BC的中垂线上，所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心.答案外心13.(2016...
