九年级数学应用相似三角形的知识解决实际问题人教实验版【本讲教育信息】一.教学内容：应用相似三角形的知识解决实际问题二.重点、难点：如何运用相似三角形知识解决问题：（1）认真审题，能把实际问题转化为数学问题；（2）画出符合题意的图形；（3）运用所学知识解决问题，并确认结果的合理性。【典型例题】例1.已知：如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB＝5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝3m。（1）请你在图中画出此时DE的阳光下的投影。（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长。解：（1）连结AC，过点D作DF//AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影。（2） AC//DF，∴∠ACB＝∠DFE ∠ABC＝∠DEF＝90°，∴△ABC∽△DEF∴，∴∴DE＝10（m）注意：①画出DE在阳光下的投影时，需使DF//AC，我们把阳光看成是平行的射线。②计算EF的长时，要先推理证明，再进行计算。要保证解题过程的科学性、准确性。例2.如图，在水平桌面上的两个“E”，当点P1，P2，O在一条直线上时，在点O处用①号“E”测得的视力与用②号“E”测得的视力相同。（1）图中b1，b2，l1，l2满足怎样的关系式？（2）若b1＝3.2cm，b2＝2cm，①号“E”的测试距离l1＝8m，要使测得的视力相同，则②号“E”的测试距离l2应为多少？解：（1） ，∴∽，∴，即（2） 且＝8m∴∴l2＝5（m）答：②号“E”的测试距离l2是5m。注意：①要学会从复杂图形中，找到基本图形，明确有关线段的位置关系。②这种组合型问题，第一问常常对第二问有启发的作用。例3.某供电部门准备在输电主干线l上连接一个分支线路，分支点为M，同时向新落成的A、B两个居民小区送电，已知居民小区A、B分别到主干线l的距离AA1＝2千米，BB1＝1千米，且A1B1＝4千米。（1）如果居民小区A、B在主干线l的两旁，如图（1）所示，那么分支点M在什么地方时总线路最短？最短线路的长度是多少千米？（2）如果居民小区A、B在主干线l的同旁，如图（2）所示，那么分支点M在什么地方时总线路最短？此时分支点M与A1的距离是多少千米？解：（1）法一：连结AB，AB与l的交点就是所求分支点M，分支点设在此处，总线路最短。 ∠BB1M＝∠AA1M＝90°（已知），∠BMB1＝∠AMA1（对顶角相等），∴△B1BM∽△A1AM∴解得由勾股定理，得所以分支点M在线段A1B1上且距A点千米处，最短线路的长度为5千米法二：连结AB，AB与l的交点就是所求分支点M分支点设在此处，总线路最短过B点作l的平行线，与AA1的延长线交于P点如图（1），则∠APB＝90°BP＝A1B1＝4，AP＝A1A＋B1B＝3在Rt△APB中，根据勾股定理，得所以最短线路的长度为5千米（2）如图（2）作B点关于直线l的对称点B2，连结AB2交直线l于点M，此处即为分支点。由（1）知，A1M长度为千米。例4.某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下底分别为10m、20m的梯形空地上种植花木（如图）。（1）他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元/m2，当△AMD地带种满花后（图中阴影部分），共花了160元，请计算种满△BMC地带所需的费用。（2）若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m2和10元/m2，应选择种哪种花木，刚好用完所筹集的资金？（3）若梯形ABCD为等腰梯形，面积不变（如图），请你设计一种花坛图案，即在梯形内找到一点P，使得△APB∽△DPC且S△APD＝S△BPC，并说出你的理由。分析：利用相似三角形知识求出S△BMC与S△AMD的关系，是解题的关键。（1）解： 四边形ABCD是梯形∴AD//BC∴∠MAD＝∠MCB，∠MDA＝∠MBC∴△AMD∽△CMB∴ 种植△AMD地带花费160元∴∴S△AMD＝80（m2）∴△BMC地带的花费为80×8＝640（元）（2）解：设△AMD的高为h1，△BMC的高为h2，梯形ABCD的高为h S△AMD＝∴ ∴∴∴S△AMB＋S△CMD＝180－20－80＝80（m2）∴160＋640＋80×12＝1760（元）又：160＋640＋80×10＝1600（元）∴应种植茉莉花刚好用完所筹集的资金。（3）解：点P在AD、BC的中垂线上此时，PA＝PD，PB＝PC AB＝DC∴△APB≌△DPC设△APD的高为x，则△BPC高为（12－x）∴当S△APD＝S△BPC即5x＝10（12－x）x＝8∴当点P在AD、BC的中垂线上且与AD的距离为8cm时，S...
