高二数学组合、组合数学法指导人教版一.本周教学内容：组合、组合数二.重点、难点重点：1.组合概念：从n个不同元素中，取出m（m≤n）个不同元素，并成一组，其不同取法总数为。2.组合数公式：组合数的两个性质定理：3.组合的应用4.分组问题难点：组合的应用：平均分组问题【典型例题】例1.证明：（1）Cm0Cnk＋Cm1Cnk－1＋Cm2Cnk－2＋…＋CmkCn0＝Cn＋mk（2）2Cn2＋9Cn3＋12Cn4＋5Cn5＝nCn＋24证：（1）构造一个数学模型设袋中有n＋m个球，其中红球n个，白球m个。现从中任取k个（k≤min{m，n}），那么共有Cn＋mk种不同取法。另一方面，用分类的方法考虑这个问题。可分成k＋1类：第1类，k个红球；第2类，k－1个红球，1个白球；第3类，k－2个红球，2个白球；…；第k＋1类，0个红球，k个白球。于是取法总数为CnkCm0＋Cnk－1Cm1＋…＋Cn0Cmk。但这两种算法结果应是相等的，因此等式成立例2.求和：。用心爱心专心解法一：原式解法二：原式解法三：原式例3.解方程解：由方程可知，x≥2根据组合数性质2，将原方程化为∴x2＋5x－14＝0，解得x＝2或x＝－7（舍）说明：解含有组合数，排列数的方程时，应灵活利用组合数性质定理，以及和的定义式。此外还要注意其中m和n的取值范围。在具体求解方程时，其基本方向就是化简方程，减少方程中的项数，使之转化为我们熟知的整式方程。例4.（1）从1，2，3，…，12中任选4个数相加，其和为奇数的共有多少种？（2）从9所中学选派12名教师组成代表团，每校至少1人参加，问有多少种不同选派方法？（3）由12人组成文娱小组，其中5人只会唱歌，5人只会跳舞，2人又会唱歌又会跳舞。现从这12人中选派4人会唱歌4人会跳舞的去排练节目，共有多少种选法？解：（1）分两类：①3个奇数，1个偶数，共有C63C61种选法。②1奇，3偶，不同选法也是C61C63种。故所求总数为2C61C63种。（2）每校选1人已定，只剩3个名额尚须选派。分三类：①3名全从同一个学校选，共有C91种选法；②从两个学校选派3人，可以是甲2乙1或甲1乙2，故不同选法总数为2C92；③从3个不同学校各选1人，有C93种选法。故所求总数为C91＋2C92＋C93。（3）关键在于2个既会唱歌又会跳舞的人是否被选，并且选中后，他们表演什么节目（唱歌还是跳舞）。分6类：①这2人被选为唱歌人选，其他6人选法有C52C54种；②2人被选为跳舞人选，也有C52C54种选法；③2人被选，其中一人唱歌一人跳舞，共有2C53C53种选法；④2人中只选1人唱歌，有C21C53C54种选法；⑤2人中只选1人跳舞，也有C21C53C54种选法；③这2用心爱心专心人都没选上，那么有C54C54种选法。故所求总数为2C52C54＋2C21C53C54＋2C53C53＋C54C54＝525。例5.四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取四个不共面的点，不同的取法共有多少种？分析：用直接法考虑：设四面体为A—BCD，底面BCD为平面α．分四类情况考虑：②类：恰有2个点有α内，可分两种情况：该两个点在四面体的同一条棱上，有（种）；该两个点不在同一条棱上，有（种）③类：恰有1个点在α内，可分两种情况：该点是棱的中点，有3×3＝9（种）；该点是棱的端点，有3×2＝6（种）④类：4个点全不在α内，只有1种取法，由加法原理，可得：解：68＋27＋30＋9＋6＋1＝141（种）用间接法考虑：先从10个点中任取4点，有种取法，其中所取4点是共面的情况可分为两类：②类：4点不在四面体的同一个面内，可分两种情形：4点位于相对的两条棱上，这时必然3点位于某棱，而另一点是对棱的中点，共有6种取法；4点不位于相对的棱上，这时4点必然全为棱的中点，且是平行四边形的顶点，共有3种取法．解：综上可得，（种）答：不同的取法共有141种。例6.现有张、王、李三位教师分别到6个班任课，求下列情况下不同的分班法各有多少种？（1）分给张、王、李老师依次1个班，2个班，3个班；（2）每位教师都2个班；（3）6个班分成3组，两个组各1个班，另一组4个班；（4）分配给三位教师，某一人1个班，一个人2个班，一人3个班；（5）分配给三位教师，一人4个班，另2人各1个班。解：（1）不同的分班种数为（种）（2）不同的分法种数为（种）（3）种方法中有重复，如中选A，选B，选到C、D、E、F，与选B，选到A，选到C...
