1.3可线性化的回归分析课时过关·能力提升1.倒指数曲线y=aebx,当a>0,b>0时的图像为()答案:A2.现有一组数据,如下表:x1.9933.0024.0015.0326.121y1.5014.4137.49812.0417.93准备从以下函数中选择一个近似地表示这组数据满足的规律,其中拟合最好的是()A.y=-2x-2B.y¿32log2xC.y=2x-1+1D.y¿12x2−12解析:把x看作自变量,y看作其函数值,从表中数据的变化趋势看,随着自变量的增加,函数值递增的速度不断加快.对照四个选项,A选项是以一个恒定的幅度变化,其图像是直线型的,不符合本题的变化规律;B选项是对数型函数,随着x的增大y的递增速度不断变慢,不符合本题的变化规律;C选1项是指数型函数,随着x的增大y的递增速度不断变快,但增长速度超出题表中y的增长速度,不符合本题的变化规律;D选项是二次函数,对比数据知,其最接近题表中数据的变化趋势.答案:D3.★若把指数曲线y=aebx作线性变换后得到的回归方程为u=1-0.6x,则函数y=x2+bx+a的增区间为()A.(0,+∞)B.(0.3,+∞)C.(0.5,+∞)D.(1,+∞)解析:在y=aebx的两边取自然对数,可得lny=lna+bx,令u=lny,则u=lna+bx,所以{lna=1,b=-0.6,即{a=e,b=-0.6.函数y=x2-0.6x+e=(x-0.3)2+e-0.09.所以单调增区间为(0.3,+∞).答案:B4.若两个变量x,y满足回归方程y=ax2+6,通过此函数可预计当x=2时,y=22,则估计当x=10时,y=.答案:4065.在研究两个变量的相关关系时,观察散点图发现样本点集中于某一条指数型曲线y=ebx+a的周围,令z=lny,求得回归直线方程为z=0.25x-2.58,则该模型的回归方程为.答案:y=e0.25x-2.586.若x,y满足x0.10.20.30.512345y2096420.940.650.510.45则x,y满足的函数模型为.2答案:y¿2x7.给出函数①y=2+13x,②y=2ex,③y=2e1x,④y=2+lnx,其中与下列数据x,y吻合的函数模型是¿(填序号)x12345678910y22.6933.383.63.844.084.24.3解析:在①中,当x=8,9,10时,函数值与所给数值偏差较大,不合题意;在②中,当x=10时,y=2e10远远大于4.3,不合题意;在③中,函数在(0,+∞)上为减函数.故填④.答案:④8.已知两个变量x,y的关系可以近似地用函数y=aebx来表示,通过变换后得到一个线性函数.利用最小二乘法得到的线性回归方程为u=2+0.5x,则x,y的近似函数关系式为.解析:在y=aebx的两边取自然对数,可得lny=lna+bx,令u=lny,则u=lna+bx,则{lna=2,b=0.5,即{a=e2,b=0.5,所以y=e2·e0.5x.答案:y=e2·e0.5x9.在平炉炼钢中,由于矿石与炉气中的氧气作用,铁水的总含碳量不断下降,现测得含碳量y(%)与熔化时间t(单位:h)的关系,如下表:时间5.05.25.45.65.86.06.26.46.66.87.03t/h含碳量y/%9.737.466.044.352.742.061.480.980.570.410.25请按y=aebt求y对t的回归方程.解:设u=lny,c=lna,则u=c+bt.列表如下:t5.05.25.45.65.86.06.26.46.66.87.0u=lny2.2752.0101.7981.4701.0080.7230.392-0.020-0.562-0.892-1.386由此可得:∑i=111ti2=400.4,∑i=111ui2≈19.3348,∑i=111uiti=32.7782,t=6,u≈0.6196.∴r¿∑i=111tiui-11tu√∑i=111ti2-11t2√∑i=111ui2-11u2≈32.7782-11×6×0.6196√400.4-11×62×√19.3348-11×0.61962≈-0.995.∴u与t之间有较强的线性相关关系.进而可以求得b¿∑i=111uiti-11tu∑i=111ti2-11t2≈32.7782-11×6×0.6196400.4-11×62≈-1.844,c¿u−bt=11.6836.∴u=-1.844t+11.6836.4∴y=e11.6836·e-1.844t.10.某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表:身高x/cm60708090100110体重y/kg6.137.909.9912.1515.0217.50身高x/cm120130140150160170体重y/kg20.9226.8631.1138.8547.2555.05(1)试建立y与x之间的回归方程.(2)如果体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8为偏瘦,那么这个地区一名身高为175cm体重为82kg的在校男生体重是否正常?解:(1)根据题表中数据画出散点图如下图:由上图看出,样本点分布在某条指数函数曲线y=c1ec2x的周围,于是令z=lny,得下表:x60708090100110120130140150160170z1.812.072.302.502.712.863.043.293.443.663.864.01根据上表作出散点图如下图:5由表中数据可得z与x之间的线性回归方程为z=0.6924+0.01974x,则有y=e0.6924·e0.01974x.(2)当x=175时,预测平均体重y=e0.6924·e0.01974×175≈63.24.因为63.24×1.2≈75.89<82,所以这名男生偏...
