2．三角函数的图象、性质与三角变换1．已知α为锐角，cos＝.(1)求tan的值；(2)求sin的值．解(1)因为α∈，所以α＋∈，所以sin＝＝，所以tan＝＝2.(2)因为sin＝sin2＝2sincos＝，cos＝cos2＝2cos2－1＝－，所以sin＝sin＝sincos－cossin＝.2．(2017·南通、扬州、泰州、淮安三调)已知函数f(x)＝Asin(A＞0，ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，且经过点.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若角α满足f(α)＋f＝1，α∈(0，π)，求角α的值．解(1)由条件知周期T＝2π，即＝2π，所以ω＝1，即f(x)＝Asin.因为f(x)的图象经过点，所以Asin＝，所以A＝1，所以f(x)＝sin.(2)由f(α)＋f＝1，得sin＋sin＝1，即sin－cos＝1，所以2sin＝1，即sinα＝.因为α∈(0，π)，所以α＝或.3．(2017·南京三模)已知向量a＝(2cosα，sin2α)，b＝(2sinα，t)，α∈.(1)若a－b＝，求t的值；(2)若t＝1，且a·b＝1，求tan的值．解(1)方法一因为向量a＝(2cosα，sin2α)，b＝(2sinα，t)，且a－b＝，所以cosα－sinα＝，t＝sin2α.由cosα－sinα＝，得(cosα－sinα)2＝，即1－2sinαcosα＝，从而2sinαcosα＝.所以(cosα＋sinα)2＝1＋2sinαcosα＝.因为α∈，所以cosα＋sinα＝，所以sinα＝＝，从而t＝sin2α＝.方法二因为向量a＝(2cosα，sin2α)，b＝(2sinα，t)，且a－b＝，所以cosα－sinα＝，t＝sin2α.又sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＋2＝1，整理得50sin2α＋10sinα－24＝0，1解得sinα＝－或sinα＝.因为α∈，所以sinα＞0，所以sinα＝，从而t＝sin2α＝.(2)方法一因为t＝1，且a·b＝1，所以4sinαcosα＋sin2α＝1，即4sinαcosα＝cos2α.因为α∈，所以cosα≠0，从而tanα＝.所以tan2α＝＝.从而tan＝＝＝.方法二因为t＝1，且a·b＝1，所以4sinαcosα＋sin2α＝1，即4sinαcosα＝cos2α.所以2sin2α＝，即4sin2α－cos2α＝1，又sin22α＋cos22α＝1，所以sin22α＋(4sin2α－1)2＝1，整理得17sin22α－8sin2α＝0，解得sin2α＝或sin2α＝0.因为α∈，所以2α∈(0，π)，所以sin2α＞0，所以sin2α＝，代入4sin2α－cos2α＝1，得cos2α＝，因为tan2α＝＝，从而tan＝＝＝.4．(2017·南通一调)如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A.以OA为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B，AB＝.(1)求cosβ的值；(2)若点A的横坐标为，求点B的坐标．解(1)在△AOB中，由余弦定理，得cos∠AOB＝＝＝，即cosβ＝.(2)因为cosβ＝，β∈，所以sinβ＝＝＝.因为点A的横坐标为，由三角函数定义可得cosα＝.因为α为锐角，所以sinα＝＝＝.所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝－，sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×＋×＝.所以点B坐标为.2
