§4.2导数的应用基础篇固本夯基【基础集训】考点一导数与函数的单调性1.已知f(x)=lnxx,则()A.f(2)>f(e)>f(3)B.f(3)>f(e)>f(2)C.f(3)>f(2)>f(e)D.f(e)>f(3)>f(2)答案D2.设函数f(x)=12x2-9lnx在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是()A.1
f(a)>f(c);②函数f(x)在x=c处取得极小值,在x=e处取得极大值;③函数f(x)在x=c处取得极大值,在x=e处取得极小值;④函数f(x)的最小值为f(d).A.③B.①②C.③④D.④答案A5.若函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值,则常数c的值为()A.4B.2或6C.2D.6答案C6.设函数f(x)=x3-12x+b,则下列结论正确的是()A.函数f(x)在(-∞,-1)上单调递增B.函数f(x)在(-∞,-1)上单调递减C.若b=-6,则函数f(x)的图象在点(-2,f(-2))处的切线方程为y=10D.若b=0,则函数f(x)的图象与直线y=10只有一个公共点答案C7.已知函数f(x)={-x3+x2(x<1),alnx(x≥1).(1)求f(x)在区间(-∞,1)上的极小值和极大值点;(2)求f(x)在[-1,e](e为自然对数的底数)上的最大值.1解析(1)当x<1时,f'(x)=-3x2+2x=-x(3x-2),令f'(x)=0,解得x=0或x=23.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,0)0(0,23)23(23,1)f'(x)-0+0-f(x)↘极小值↗极大值↘故当x=0时,函数f(x)取得极小值,为f(0)=0,函数f(x)的极大值点为x=23.(2)①当-1≤x<1时,由(1)知,函数f(x)在[-1,0]和[23,1)上单调递减,在(0,23)上单调递增.因为f(-1)=2,f(23)=427,f(0)=0,所以f(x)在[-1,1)上的最大值为2.②当1≤x≤e时,f(x)=alnx,当a≤0时,f(x)≤0;当a>0时,f(x)在[1,e]上单调递增,则f(x)在[1,e]上的最大值为f(e)=a.故当a≥2时,f(x)在[-1,e]上的最大值为a;当a<2时,f(x)在[-1,e]上的最大值为2.考点三导数的综合应用8.函数f(x)是定义在(0,+∞)上的可导函数,f'(x)为其导函数,若x·f'(x)+f(x)=ex(x-1),且f(2)=0,则不等式f(x)<0的解集为()A.(0,1)B.(0,2)C.(1,2)D.(2,+∞)答案B9.已知函数f(x)={3x,x<0,0,0≤x≤1,3-3x,x>1,若函数g(x)=x3+λf(x)恰有3个零点,则λ的取值范围为()A.(-∞,0)∪{94}B.(94,+∞)C.(0,94)D.(-∞,0)∪(94,+∞)答案B10.已知函数f(x)=ex-2+x-3(e为自然对数的底数),g(x)=x2-ax-a+3.若存在实数x1,x2,使得f(x1)=g(x2)=0,且|x1-x2|≤1,则实数a的取值范围是.答案[2,3]2综合篇知能转换【综合集训】考法一利用导数解决函数单调性问题1.(2019吉林长春实验中学期末,9)设函数f(x)=x(ex+e-x),则f(x)()A.是奇函数,且在R上是增函数B.是偶函数,且在R上有极小值C.是奇函数,且在R上是减函数D.是偶函数,且在R上有极大值答案A2.(2018黑龙江哈尔滨师大附中三模,8)若函数f(x)=2x+sinx·cosx+acosx在(-∞,+∞)上单调递增,则a的取值范围是()A.[-1,1]B.[-1,3]C.[-3,3]D.[-3,-1]答案A3.(2018湖北荆州一模,12)若函数f(x)=mlnx+x2-mx在区间(0,+∞)上单调递增,则实数m的取值范围为()A.[0,8]B.(0,8]C.(-∞,0]∪[8,+∞)D.(-∞,0)∪(8,+∞)答案A4.(2016北京,18,13分)设函数f(x)=xea-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4.(1)求a,b的值;(2)求f(x)的单调区间.解析(1)因为f(x)=xea-x+bx,所以f'(x)=(1-x)ea-x+b.依题设,知{f(2)=2e+2,f'(2)=e-1,即{2ea-2+2b=2e+2,-ea-2+b=e-1.解得a=2,b=e.(2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex.由f'(x)=e2-x(1-x+ex-1)及e2-x>0知,f'(x)与1-x+ex-1同号.令g(x)=1-x+ex-1,则g'(x)=-1+ex-1.所以,当x∈(-∞,1)时,g'(x)<0,g(x)在区间(-∞,1)上单调递减;当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)在区间(1,+∞)上单调递增.故g(1)=1是g(x)在区间(-∞,+∞)上的最小值,从而g(x)>0,x∈(-∞,+∞).综上可知,f'(x)>0,x∈(-∞,+∞).故f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).考法二与函数极值或最值有关的导数问题5.(2018黑龙江齐齐哈尔一模)若x=1是函数f(x)=ax2+lnx的一个极值点,则当x∈[1e,e]时,f(x)的最小值为()A.1-e22B.-e+1eC.-12e2-1D.e2-1答案A6.(2019重庆(区...
