9.8.3定点、定值、探索性问题A组专项基础训练(时间：40分钟)1．(2017·衡水模拟)已知F1，F2为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过椭圆右焦点F2且斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于E，F两点，△EFF1的周长为8，且椭圆C与圆x2＋y2＝3相切．(1)求椭圆C的方程；(2)设A为椭圆的右顶点，直线AE，AF分别交直线x＝4于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k′，求证：k·k′为定值．【解析】(1)因为△EFF1的周长为8，所以4a＝8，所以a2＝4，又椭圆C与圆x2＋y2＝3相切，故b2＝3，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)证明由题意知过点F2(1，0)的直线l的方程为y＝k(x－1)，设E(x1，y1)，F(x2，y2)，将直线l的方程y＝k(x－1)代入椭圆C的方程＋＝1，整理得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，Δ＝64k4－4(4k2＋3)(4k2－12)＞0恒成立，且x1＋x2＝，x1x2＝.直线AE的方程为y＝(x－2)，令x＝4，得点M，直线AF的方程为y＝(x－2)．令x＝4，得点N，所以点P的坐标为.所以直线PF2的斜率为k′＝＝＝·＝·，将x1＋x2＝，x1x2＝代入上式得：k′＝·＝－，所以k·k′为定值－1.2．(2015·四川雅安重点中学1月月考)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两焦点在x轴上，且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形．(1)求椭圆的方程；(2)过点S的动直线l交椭圆C于A，B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q，使得以线段AB为直径的圆恒过点Q？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】(1) 椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴b＝c，又斜边长为2，即2c＝2，故c＝b＝1，a＝，椭圆方程为＋y2＝1.(2)当l与x轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为x2＋＝；当l与y轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝1.由得故若存在定点Q，则Q的坐标只可能为Q(0，1)．下面证明Q(0，1)为所求：若直线l的斜率不存在，上述已经证明．若直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx－，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(9＋18k2)x2－12kx－16＝0，Δ＝144k2＋64(9＋18k2)＞0，x1＋x2＝，x1x2＝，QA＝(x1，y1－1)，QB＝(x2，y2－1)，QA·QB＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝(1＋k2)x1x2－(x1＋x2)＋＝(1＋k2)·－·＋＝0，∴QA⊥QB，即以线段AB为直径的圆恒过点Q(0，1)．3．(2017·河南郑州二模)已知曲线C的方程是mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)，且曲线C过A，B两点，O为坐标原点．(1)求曲线C的方程；(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)是曲线C上的两点，且OM⊥ON，求证：直线MN恒与一个定圆相切．【解析】(1)由题意可得解得m＝4，n＝1.所以曲线C的方程为y2＋4x2＝1.(2)证明由题意得y＋4x＝1，y＋4x＝1，x1x2＋y1y2＝0，原点O到直线MN的距离d＝＝＝＝＝.由x1x2＋y1y2＝0得xx＝yy＝(1－4x)(1－4x)＝1－4(x＋x)＋16xx，所以xx＝(x＋x)－，所以d＝＝＝.所以直线MN恒与定圆x2＋y2＝相切．B组专项能力提升(时间：30分钟)4．(2017·河南洛阳模拟)设M是焦距为2的椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)上一点，A，B是椭圆E的左、右顶点，直线MA与MB的斜率分别为k1，k2，且k1k2＝－.(1)求椭圆E的方程；(2)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)上点N(x0，y0)处的切线方程为＋＝1.若点P是直线x＝2上任意一点，从P向椭圆E作切线，切点分别为C，D，求证：直线CD恒过定点，并求出该定点的坐标．【解析】(1)设A(－a，0)，B(a，0)，M(m，n)，则＋＝1，即n2＝b2·.由k1k2＝－，即·＝－，故＝－，则a2＝2b2，又c2＝a2－b2＝1，解得a2＝2，b2＝1.所以椭圆E的方程为＋y2＝1.(2)证明设点P(2，t)，切点C(x1，y1)，D(x2，y2)，则两切线PC，PD的方程分别为＋y1y＝1，＋y2y＝1.由于点P在切线PC，PD上，故P(2，t)满足＋y1y＝1，＋y2y＝1，得x1＋y1t＝1，x2＋y2t＝1，故C(x1，y1)，D(x2，y2)均满足方程x＋ty＝1，即x＋ty＝1为直线CD的方程．令y＝0，得x＝1，故直线CD过定点(1，0)．5．(2017·湖北黄冈二模)如图，已知点F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1的两个焦点，椭圆C2：＋y2＝λ经过点F1，F2，点P是椭圆C2上异于F1，F2的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆C1的交点分别是A，B和C，D.设AB，CD的斜率分别为k，k′.(1)求证：k·k′为定值；(2)求|AB|·|CD|的最大值．【解析】(1)证明因为点...
