3定点、定值、探索性问题A组专项基础训练(时间：40分钟)1．(2017·衡水模拟)已知F1，F2为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过椭圆右焦点F2且斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于E，F两点，△EFF1的周长为8，且椭圆C与圆x2＋y2＝3相切．(1)求椭圆C的方程；(2)设A为椭圆的右顶点，直线AE，AF分别交直线x＝4于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k′，求证：k·k′为定值．【解析】(1)因为△EFF1的周长为8，所以4a＝8，所以a2＝4，又椭圆C与圆x2＋y2＝3相切，故b2＝3，所以椭圆C的方程为＋＝1
(2)证明由题意知过点F2(1，0)的直线l的方程为y＝k(x－1)，设E(x1，y1)，F(x2，y2)，将直线l的方程y＝k(x－1)代入椭圆C的方程＋＝1，整理得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，Δ＝64k4－4(4k2＋3)(4k2－12)＞0恒成立，且x1＋x2＝，x1x2＝
直线AE的方程为y＝(x－2)，令x＝4，得点M，直线AF的方程为y＝(x－2)．令x＝4，得点N，所以点P的坐标为
所以直线PF2的斜率为k′＝＝＝·＝·，将x1＋x2＝，x1x2＝代入上式得：k′＝·＝－，所以k·k′为定值－1
2．(2015·四川雅安重点中学1月月考)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两焦点在x轴上，且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形．(1)求椭圆的方程；(2)过点S的动直线l交椭圆C于A，B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q，使得以线段AB为直径的圆恒过点Q
若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】(1) 椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴b＝c，又斜边长为2，即2c＝2，故c＝b＝1，a＝，椭圆方程为＋y2＝1
(2)当l与
