第2讲数列的综合应用一、填空题1．(2015·全国Ⅱ卷)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝____________．解析由题意，得S1＝a1＝－1，又由an＋1＝SnSn＋1，得Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，所以Sn≠0，所以＝1，即－＝－1，故数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列，得＝－1－(n－1)＝－n，所以Sn＝－.答案－2．数列{an}的通项公式an＝，若{an}的前n项和为24，则n为________．解析an＝＝－(－)，前n项和Sn＝－[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝－1＝24，故n＝624.答案6243．(2012·江苏卷改编)各项均为正数的等比数列{an}满足a1a7＝4，a6＝8，若函数f(x)＝a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a10x10的导数为f′(x)，则f′＝________．解析因为各项均为正数的等比数列{an}满足a1a7＝4，a6＝8，所以a4＝2，q＝2，故an＝2n－3，又f′(x)＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋10a10x9，所以f′＝2－2＋2×2－2＋3×2－2＋…＋10×2－2＝2－2×＝.答案4．在等差数列{an}中，a1＝142，d＝－2，从第一项起，每隔两项取出一项，构成新的数列{bn}，则此数列的前n项和Sn取得最大值时n的值是________．解析因为从第一项起，每隔两项取出一项，构成数列{bn}，所以新数列的首项为b1＝a1＝142，公差为d′＝－2×3＝－6，则bn＝142＋(n－1)(－6)．令bn≥0，解得n≤24，因为n∈N*，所以数列{bn}的前24项都为正数项，从25项开始为负数项．因此新数列{bn}的前24项和取得最大值．答案245．在正项数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3×5n，则数列{an}的通项公式为________．解析在递推公式an＋1＝2an＋3×5n的两边同时除以5n＋1，得＝×＋，①令＝bn，则①式变为bn＋1＝bn＋，即bn＋1－1＝(bn－1)，所以数列{bn－1}是等比数列，其首项为b1－1＝－1＝－，公比为.所以bn－1＝×，即bn＝1－×＝，故an＝5n－3×2n－1.答案an＝5n－3×2n－16．(2015·苏、锡、常、镇模拟)已知各项都为正的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，存在两项am，an使得＝4a1，则＋的最小值为________．解析由a7＝a6＋2a5，得a1q6＝a1q5＋2a1q4，整理有q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(与条件中等比数列的各项都为正矛盾，舍去)，又由＝4a1，得aman＝16a，即a2m＋n－2＝16a，即有m＋n－2＝4，亦即m＋n＝6，那么＋＝(m＋n)＝≥＝，当且仅当＝，m＋n＝6，即n＝2m＝4时取得最小值.答案7．(2015·南通调研)设Sn为数列{an}的前n项之和，若不等式a＋≥λa对任何等差数列{an}及任何正整数n恒成立，则λ的最大值为________．解析a1＝0时，不等式恒成立；当a1≠0时，λ≤＋，将an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋代入上式，并化简得：λ≤＋，所以λ≤，即λmax＝.答案8．(2015·南京、盐城模拟)已知等比数列{an}的首项为，公比为－，其前n项和为Sn，若A≤Sn1－≤B对n∈N*恒成立，则B－A的最小值为________．解析依题意得Sn＝＝1－，当n为奇数时，Sn＝1＋∈；当n为偶数时，Sn＝1－∈.由函数y＝x－在(0，＋∞)上是增函数得Sn－的取值范围是∪，因此有A≤－，B≥，B－A≥＋＝，即B－A的最小值是.答案二、解答题9．数列{an}满足an＝2an－1＋2n＋1(n∈N*，n≥2)，a3＝27.(1)求a1，a2的值；(2)是否存在一个实数t，使得bn＝(an＋t)(n∈N*)，且数列{bn}为等差数列？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由；(3)求数列{an}的前n项和Sn.解(1)由a3＝27，得27＝2a2＋23＋1，∴a2＝9， 9＝2a1＋22＋1，∴a1＝2.(2)假设存在实数t，使得{bn}为等差数列，则2bn＝bn－1＋bn＋1，(n≥2且n∈N*)∴2×(an＋t)＝(an－1＋t)＋(an＋1＋t)，∴4an＝4an－1＋an＋1＋t，∴4an＝4×＋2an＋2n＋1＋1＋t，∴t＝1.即存在实数t＝1，使得{bn}为等差数列．(3)由(1)，(2)得b1＝，b2＝，∴bn＝n＋，∴an＝·2n－1＝(2n＋1)2n－1－1，Sn＝(3×20－1)＋(5×21－1)＋(7×22－1)＋…＋[(2n＋1)×2n－1－1]＝3＋5×2＋7×22＋…＋(2n＋1)×2n－1－n，①∴2Sn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n＋1)×2n－2n，②由①－②得－Sn＝3＋2×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－1－(2n＋1)×2n＋n＝1＋2×－(2n＋1)×2n＋n＝(1－2n)×2n＋n－1，∴Sn＝(2n－1)×2n－n＋1.10．(2013·江苏卷)设{an}是首项为a，公差为d的等差数列(d≠0)...
