3-8正弦定理和余弦定理的应用课时规范练(授课提示：对应学生用书第259页)A组基础对点练1．(2017·宁夏银川一中月考)如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为(A)A．50mB．50mC．25mD．m2.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于(C)A．240(－1)mB．180(－1)mC．120(－1)mD．30(＋1)m3．(2018·呼和浩特二模)为了保护生态环境，建设美丽乡村，镇政府决定为A，B，C三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理A，B，C三个自然村的垃圾，受当地地理条件的限制，垃圾处理站M只能建在B村的西偏北方向，要求与A村相距5km，且与C村相距km，已知B村在A村的正东方向，相距3km，C村在B村的正北方向，相距3km，则垃圾处理站M与B村相距(C)A．2kmB．5kmC．7kmD．8km解析：以A为原点，以AB为x轴建立平面坐标系(图略)，则A(0,0)，B(3,0)，C(3,3)，以A为圆心，以5为半径作圆A，以C为圆心，以为半径作圆C，则圆A的方程为x2＋y2＝25，圆C的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝31，即x2＋y2－6x－6y＋5＝0，∴两圆的公共弦方程为x＋y＝5，设M(x，y)，则解得M(5,0)或M. 垃圾处理站M只能建在B村的西偏北方向，∴M.∴MB＝＝7.故选C.4．(2018·荆州一模)某商船在海上遭海盗袭扰，商船正以15海里/小时的速度沿北偏东15°方向行驶，此时在其南偏东45°方向，相距20海里处的海军舰艇接到命令，需要在80分钟内(含80分钟)追上商船为其护航．为完成任务，海军舰艇速度的最小值为15(海里/小时)．解析：设追上处为C，海军舰艇为A，B为商船，由条件知∠ABC＝120°，AB＝20海里，设海军舰艇速度的最小值为x，可得BC＝15×＝20，AC＝x，由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC.得2＝202＋202－2×20×20cos120°，解得x＝15，故海军舰艇速度的最小值为15.5．如图，在山底测得山顶仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1000米至S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为1000米．解析：由题图知∠BAS＝45°－30°＝15°，∠ABS＝45°－15°＝30°，∴∠ASB＝135°，在△ABS中，由正弦定理可得＝，∴AB＝1000，∴BC＝＝1000.6．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.(1)若PB＝，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.解析：(1)由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.在△PBA中，由余弦定理得PA2＝3＋－2××cos30°＝.故PA＝.(2)设∠PBA＝α，由已知得PB＝sinα.在△PBA中，由正弦定理得，＝，化简得cosα＝4sinα.所以tanα＝，即tan∠PBA＝.B组能力提升练1．(2017·武汉武昌区调研)如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为(B)A．14hB．15hC．16hD．17h2．(2018·镇海区校级模拟)帕普斯(Pappus)是古希腊数学家，3～4世纪人，伟大的几何学家，著有《数学汇编》．此书对数学史具有重大的意义，是对前辈学者的著作作了系统整理，并发展了前辈的某些思想，保存了很多古代珍贵的数学证明的资料．如图1，图2，利用帕普斯的几何图形直观证明思想，能简明快捷地证明一个数学公式，这个公式是(C)A．sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβB．sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβC．cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβD．cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ解析：结合图形可证明的数学公式为cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，故选C.3．(2017·北京朝阳区质检)如图，在水平地面上有两座直立的相距60m的铁塔AA1和BB1.已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角．则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为；塔BB1的高为45m.解析：设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为α，则AA1＝60tanα，BB1＝60tan2α. 从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，∴△A1AC∽△...
