【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第7章第7节立体几何中的向量方法（Ⅱ）-求空间角课后限时自测理苏教版[A级基础达标练]一、填空题1．已知正方体ABCDA1B1C1D1，则BC1与截面BB1D1D所成的角为________．图7710[解析]显然A1C1是面BB1D1D的法向量．易知〈A1C1，BC1〉＝60°(△A1C1B为正三角形)，故所求角为90°－60°＝30°.[答案]30°2．已知正方体ABCDA1B1C1D1如图7711所示，则直线B1D和CD1所成的角为________．图7711[解析]以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为1，则射线CD1，B1D的方向向量分别是CD1＝(－1,0,1)，B1D＝(－1,1，－1)，cos〈CD1，B1D〉＝＝0，∴两直线所成的角为90°.[答案]90°3．如图7712，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则直线BD1和AB1所成的角的余弦值等于________；直线BD1和平面ACC1A1所成角的余弦值等于________．图7712[解析](1)建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，D(0,0,0)，B1(2,2,1)，D1(0,0,1)．所以BD1＝(－2，－2,1)，AB1＝(0,2,1)，从而cos〈BD1，AB1〉＝＝－.故BD1和AB1所成的角的余弦值为.(2)易知：DB⊥平面ACC1A1，所以平面ACC1A1的一条法向量为DB＝(2,2,0)．∴cos〈BD1，DB〉＝＝－.设θ为BD1和平面ACC1A1所成的角，则sinθ＝，因此，cosθ＝.[答案]4．(2012·陕西高考改编)如图7713所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为_____________．图7713[解析]不妨令CB＝1，则CA＝CC1＝2.可得O(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,1)，∴BC1＝(0,2，－1)，AB1＝(－2,2,1)，∴cos〈BC1，AB1〉＝＝＝＝>0.∴BC1与AB1的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角，∴直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.[答案]5．如图7714所示，若P为正方体ABCDA1B1C1D1的棱A1B1的中点，则二面角PC1DD1的正切值是________．图7714[解析]以D为原点，DA，DC，DD1为x，y，z轴建系．设棱长为2，面DCC1D1的法向量是m＝(1,0,0)，求得面DPC1的法向量n＝，cos〈m，n〉＝.又该二面角为锐角，所以该二面角的余弦值为，正切值为2.[答案]26．如图7715，已知三棱锥OABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝OC＝2，E是OC的中点，则二面角ABEC的余弦值为________．图7715[解析]以O为原点，OB，OC，OA为x，y，z轴建立空间直角坐标系．可求得平面ABE的一个法向量为n1＝(1,2,2)．平面BEC的一个法向量为n2＝(0,0,1)．cos〈n1，n2〉＝＝，故所求二面角余弦值为－.[答案]－7．(2013·浙江温州二模)如图7716所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点，则直线BE与平面ABCD所成角的正切值为________．图7716[解析]作EH⊥AD于H，连接BH， PA⊥面ABCD，EH∥PA，故EH⊥面ABCD，故∠EBH就是直线BE与平面ABCD所成的角，又EH＝PA＝1，BH＝＝，∴tan∠EBH＝＝.[答案]8．(2014·常州期末)如图7717，在三棱锥PABC中已知平面PAB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝PA＝2a.点O，D分别是AB，PB的中点，PO⊥AB，连结CD，则异面直线PA与CD所成角的余弦值为________．图7717[解析]由题意可知PO⊥平面ABC且OC⊥AB，故可建立如图所示的空间直角坐标系．A(0，－a,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P(0,0，a)，D，从而PA＝(0，－a，－a)，CD＝，cos〈PA，CD〉＝－，所以PA与CD所成角的余弦值为.[答案]二、解答题9.如图7718，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4，E是PD的中点．图7718(1)求证：平面PDC⊥平面PAD；(2)求二面角EACD的余弦值．[解]以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0,4,0)，E(0,2,1)，P(0,0,2)．∴AB＝(2,0,0)，AD＝(0,4,0)，AP＝(0,0,2)，CD＝(－2,0,0)，AE＝(0,2,1)，AC＝(2,4,0)．(1)证明： CD·AD＝0，∴CD⊥AD.又 CD·AP＝0，∴CD⊥AP. AP∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，而CD⊂平面PDC.∴平面PDC⊥平面PAD.(2)设平面AEC的法向量n＝(x，y，z)，令z＝1，则n＝(x，y,1)．由即⇒⇒∴n＝.平面ABC的一个法向量AP...
