课时作业(十九)空间向量的正交分解及其坐标表示A组基础巩固1．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是()A．3a，a－b，a＋2bB．2b，b－2a，b＋2aC．a,2b，b－cD．c，a＋c，a－c解析：对于A，有3a＝2(a－b)＋a＋2b，则3a，a－b，a＋2b共面，不能作为基底；同理可判断B、D错误．答案：C2．如图，在四面体OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，则MN＝()A.a－b＋cB．－a＋b＋cC.a＋b－cD.a＋b－c解析：连结ON，MN＝ON－OM＝(OB＋OC)－OA＝(b＋c)－a＝－a＋b＋c.答案：B3．已知O为坐标原点，OA在基底{a，b，c}下的坐标为{2,1,3}，其中a＝4i＋2j，b＝2j＋3k，c＝3k－j，则向量OA在基底{i，j，k}下的坐标为()A．(7,3,12)B．(3,7,12)C．(2,4,6)D．(8,3,12)解析：OA＝2a＋b＋3c＝8i＋4j＋2j＋3k＋9k－3j＝8i＋3j＋12k.∴点A的坐标为(8,3,12)．答案：D4．已知平行六面体OABC－O′A′B′C′，OA＝a，OC＝c，OO′＝b，D是四边形OABC的对角线的交点，则()A.O′D＝－a＋b＋cB.O′D＝－b－a－cC.O′D＝a－b－cD.O′D＝a－b＋c解析：O′D＝O′O＋OD＝－OO′＋(OA＋OC)＝OA－OO′＋OC＝a－b＋c.答案：D5．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若OG＝xOA＋yOB＋zOC，则(x，y，z)为()A.B.C.D.解析：如图，由已知OG＝OG1＝(OA＋AG1)＝＝OA＋[(OB－OA)＋(OC－OA)]＝OA＋OB＋OC，从而x＝y＝z＝.答案：A6．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则向量p在基底{i，j，k}下的坐标是()A．(12,14,10)B．(10,12,14)C．(14,12,10)D．(4,3,2)解析：依题意知p＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k，故向量1p在基底{i，j，k}下的坐标是(12,14,10)．答案：A7．若A(m＋1，n－1,3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3,9)三点共线，则m＋n＝__________.解析：因为AB＝(m－1,1，m－2n－3)，AC＝(2，－2，6)，由题意，得AB∥AC，则＝＝，所以m＝0，n＝0，m＋n＝0.答案：08．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝__________，y＝________.解析：因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，于是有解得答案：1－19．正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若EF＋λA1D＝0(λ∈R)，则λ＝________.解析：连接A1C1，C1D，则E在A1C1上，F在C1D上易知EF綊A1D，∴EF＝A1D，即EF－A1D＝0.∴λ＝－.答案：－10．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱DD1，D1C1，BC的中点，以{AB，AD，AA1}为基底，求下列向量的坐标：(1)AE，AG，AF；(2)EF，EG，DG.解：(1)AE＝AD＋DE＝AD＋DD1＝AD＋AA1＝，AG＝AB＋BG＝AB＋AD＝，AF＝AA1＋A1D1＋D1F＝AA1＋AD＋AB＝.(2)EF＝AF－AE＝－＝AA1＋AB＝.EG＝AG－AE＝－＝AB－AD－AA1＝，DG＝AG－AD＝AB＋AD－AD＝AB－AD＝.B组能力提升11．若向量MA，MB，MC的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则能使向量MA、MB、MC成为空间一组基底的关系是()A.OM＝OA＋OB＋OCB.MA＝MB＋MCC.OM＝OA＋OB＋OCD.MA＝2MB－MC解析：对于选项A，由结论OM＝xOA＋yOB＋zOC(x＋y＋z＝1)⇔M，A，B，C四点共面知，MA，MB，MC共面；对于B，D选项，易知MA、MB、MC共面，故只有选项C中MA、MB、MC不共面．答案：C12．若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1－e2－e3，c＝e1＋e2，d＝e1＋2e2＋3e3(e1、e2、e3为空间一个基底)且d＝xa＋yb＋zc，则x、y、z的值分别为()A.，－，－1B.，，1C．－，，1D.，－，1解析：d＝xa＋yb＋zc＝(x＋y＋z)e1＋(x－y＋z)e2＋(x－y)e3又∵d＝e1＋2e2＋3e3∴解得：x＝，y＝－，z＝－1.答案：A13．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的三等分点，且|NC|＝2|PN|，|AM|＝2|MB|，|PA|＝|AB|＝1，求MN的坐标．解析：以A为坐标原点．分别以DA，AB，AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，MN＝MA＋AP＋PN＝－AB＋AP＋PC＝－AB＋AP＋(AB＋AD－AP)2＝－AB＋AP＋AD又∵|AB|＝|AP|＝1，∴MN＝.14．如图，设四面体OABC的三条棱OA＝a，OB＝b，OC＝c，G为△BCD的重心，以{a，b，c}为空间基底表示向量BE，OG.解析：由G为△BCD的重心易知E为AC的中点，∴BE＝(BA＋BC)＝[(OA－OB)＋(OC－OB)]＝[(a－b)＋(c－b)]＝(a＋c－2b)，OG＝OB＋BG＝b＋BE＝b＋(a＋c－2b)＝(a＋b＋c)．15．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标是(2,3，－1)，求p在基底{a，a＋b，a＋b＋c}下的坐标．解析：由已知p＝2a＋3b－c，设p＝xa＋y(a＋b)＋z(a＋b＋c)＝(x＋y＋z)a＋(y＋z)b＋zc.由向量分解的唯一性，有解得∴p在基底{a，a＋b，a＋b＋c}下的坐标为(－1,4，－1)．3
