高中数学 电子题库 第三章§3 计算导数 北师大版选修1-1VIP免费

高中数学电子题库第三章§3计算导数北师大版选修1-1已知函数f(x)＝lnx，则f′(3)＝()A.B．－C．ln3D．－ln3解析：选A.f′(x)＝(lnx)′＝，故f′(3)＝.(2012·铜川检测)已知函数f(x)＝cosx，f′(x)＝－1，则x＝()A.B．－C.＋2kπ，k∈ZD．－＋2kπ，k∈Z解析：选C.f′(x)＝－sinx，则sinx＝1，∴x＝＋2kπ，k∈Z.已知f(x)＝，则f′(64)＝________．解析：∵f(x)＝x，∴f′(x)＝x－，故f′(64)＝.答案：(2012·蚌埠调研)已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，若f′(x)－g′(x)＝－2，则x＝________．解析：f′(x)＝2x，g′(x)＝3x2，于是有2x－3x2＝－2，解得x＝.答案：[A级基础达标](2012·南阳调研)曲线y＝xn(n∈N＋)在x＝2处的导数为12，则n等于()A．1B．2C．3D．4解析：选C.∵y′＝nxn－1，∴函数y＝xn(x∈N＋)在x＝2处的导数为n·2n－1＝12，∴n＝3.下列给出的四个命题中，正确的命题是()①若函数f(x)＝，则f′(0)＝0；②若函数f(x)＝2x2＋1的图像上的点(1，3)的邻近一点是(1＋Δx，3＋Δy)，则＝4＋2Δx；③瞬时速度是动点位移函数s(t)对时间t的导数；④曲线y＝x3在点(0，0)处没有切线．A．①②1B．②③C．①②③D．②③④解析：选B.①中f′(x)＝(x)′＝，当x＝0时无意义；④中y′＝(x3)′＝3x2，f′(0)＝0，有切线．下列结论正确的个数为()①若y＝ln2，则y′＝；②若f(x)＝，则f′(3)＝－；③若y＝2x，则y′＝2xln2；④若y＝log5x，则y′＝.A．4B．1C．2D．3解析：选D.在①中，(ln2)′＝0，②③④都对．若f(x)＝sinx，则f′(2π)＝________．解析：∵f(x)＝sinx，∴f′(x)＝cosx.∴f′(2π)＝cos2π＝1.答案：1(2012·宿州检测)已知直线y＝kx是曲线y＝lnx的切线，则k＝________．解析：y′＝(lnx)′＝，则＝k.∴x＝.∴y＝k×＝1.∴曲线y＝lnx过点，即1＝ln，∴k＝.答案：.求过曲线y＝cosx上点P且与过这点的切线垂直的直线方程．解：因为y＝cosx，所以y′＝－sinx.曲线在点P处的切线的斜率是为－sin＝－.所以过点P且与切线垂直的直线的斜率为.所以所求的直线方程为y－＝，即2x－y－＋＝0.[B级能力提升](2011·高考江西卷)曲线y＝ex在点A(0，1)处的切线斜率为()A．1B．2C．eD.解析：选A.由题意知y′＝ex，故所求切线斜率k＝e0＝1.设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2012(x)等于()A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx解析：选A.f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)＝cosx，f2(x)＝f′1(x)＝－sinx，f3(x)＝f′2(x)＝－cosx.f′4(x)＝f′3(x)＝sinx.∴f2012(x)＝f0(x)＝sinx.2(2012·江津测试)半径为r的圆的面积S(r)＝πr2，周长C(r)＝2πr，若将r看成(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R的球，若将R看成(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：________②.②式可用语言叙述为________________________________________________________________________．答案：′＝4πR2球的体积函数的导数等于球的表面积函数.点P是曲线y＝ex上一动点，求点P到直线y＝x的最小距离．解：根据题意得：平行于直线y＝x且与曲线y＝ex相切的直线与曲线y＝ex的切点即为曲线y＝ex上到直线y＝x距离最近的点．设满足题意的P点的坐标为(x0，y0)，因为y′＝(ex)′＝ex，所以ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即满足题意的P点坐标为(0，1)．由点到直线的距离公式得所求最小距离为.(创新题)如图，质点P在半径为1m的圆上沿逆时针方向做匀角速运动，角速度为1rad/s，设A为起始点，求时刻t时，点P在y轴上的射影点M的速度．解：时刻t时，∵角速度为1rad/s，∴∠POA＝1·t＝trad，∴∠MPO＝∠POA＝trad，∴OM＝OP·sin∠MPO＝sint.∴点M的运动方程为y＝sint，∴v＝y′＝(sint)′＝cost.即时刻t时，点P在y轴上的射影M点的速度为costm/s.3