第六节双曲线A组基础题组1.双曲线y29-x24=1的渐近线方程是()A.y=±94xB.y=±49xC.y=±32xD.y=±23x答案C双曲线y29-x24=1中a=3,b=2,故双曲线的渐近线方程为y=±32x.2.若双曲线M:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,P为双曲线M上一点,且|PF1|=15,|PF2|=7,|F1F2|=10,则双曲线M的离心率为()A.3B.2C.53D.54答案DP为双曲线M上一点,且|PF1|=15,|PF2|=7,|F1F2|=10,由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a=8,故a=4,|F1F2|=2c=10,故c=5,则双曲线M的离心率e=ca=54.3.(2019重庆调研)设F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,过坐标原点的直线依次与双曲线C的左、右支交于点P、Q,若|PQ|=2|QF|,∠PQF=60°,则该双曲线的离心率为()A.❑√3B.1+❑√3C.2+❑√3D.4+2❑√3答案B由题意可作出草图,设|QF|=1,由双曲线的对称性得,△OQF为正三角形,则c=|OF|=1,又|PQ|=2|QF|,所以∠PFQ=90°,则|PF|=❑√3,所以2a=|PF|-|QF|=❑√3-1⇒a=❑√3-12,因此e=1❑√3-12=2❑√3-1=❑√3+1,故选B.4.若双曲线C1:x22-y28=1与C2:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线相同,且双曲线C2的焦距为4❑√5,则b=()A.2B.4C.6D.8答案B由题意得,ba=2⇒b=2a,双曲线C2的焦距2c=4❑√5⇒c=❑√a2+b2=2❑√5⇒a=2,b=4.5.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为()A.x220-y25=1B.x25-y220=1C.x280-y220=1D.x220-y280=1答案A 双曲线C的渐近线方程为x2a2-y2b2=0及点P(2,1)在渐近线上,∴4a2-1b2=0,即a2=4b2,①由题意得a2+b2=c2=25,②联立①②得b2=5,a2=20,则C的方程为x220-y25=1.故选A.6.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为2❑√5,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为()A.x24-y2=1B.x2-y24=1C.3x220-3y25=1D.3x25-3y220=1答案A由题意可得{ba=12,a2+b2=5,a>0,b>0,解得a=2,b=1,所以双曲线的方程为x24-y2=1,故选A.7.在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为❑√5,过双曲线C的右焦点F作渐近线的垂线,垂足为A,若△AFO的面积为1,则双曲线C的方程为()A.x22-y28=1B.x24-y2=1C.x24-y216=1D.x2-y24=1答案D因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA|=b,|OA|=a,所以ab=2,又双曲线C的离心率为❑√5,所以❑√1+b2a2=❑√5,即b2=4a2,所以a2=1,b2=4,所以双曲线C的方程为x2-y24=1,故选D.8.(2018课标全国Ⅰ理,11,5分)已知双曲线C:x23-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=()A.32B.3C.2❑√3D.4答案B本题主要考查双曲线的几何性质.由双曲线C:x23-y2=1可知其渐近线方程为y=±❑√33x,∴∠MOx=30°,∴∠MON=60°,不妨设∠OMN=90°,则易知焦点F到渐近线的距离为b,即|MF|=b=1,又知|OF|=c=2,∴|OM|=❑√3,则在Rt△OMN中,|MN|=|OM|·tan∠MON=3.故选B.9.如图,F1、F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若直线y=x与双曲线C交于P,Q两点,且四边形PF1QF2为矩形,则双曲线的离心率为()A.2+❑√6B.❑√2+❑√6C.2+❑√2D.❑√2+❑√2答案D将y=x代入双曲线C的方程,可得x=±❑√a2b2b2-a2,因为|OP|=|OF2|,所以❑√2·❑√a2b2b2-a2=c,所以2a2b2=c2(b2-a2),即2(e2-1)=e4-2e2,所以e4-4e2+2=0.因为e>1,所以e2=2+❑√2,所以e=❑√2+❑√2,故选D.10.过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F(-c,0)作圆O:x2+y2=a2的切线,切点为E,延长FE交双曲线于点P,若E为线段FP的中点,则双曲线的离心率为()A.❑√5B.❑√52C.❑√5+1D.❑√5+12答案A如图所示,不妨设E在x轴上方,F'为双曲线的右焦点,连接OE,PF',因为PF是圆O的切线,所以OE⊥FE,又E,O分别为PF,FF'的中点,所以|OE|=12|PF'|,又|OE|=a,所以|PF'|=2a,根据双曲线的定义,知|PF|-|PF'|=2a,所以|PF|=4a,所以|EF|=2a,在Rt△OEF中,|OE|2+|EF|2=|OF|2,即a2+4a2=c2,所以e=❑√5,故选A.11.(2018课标全国Ⅲ理,11,5分)设F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左,右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=❑√6|OP|,则C的离心率为()A.❑√5B.2C.❑√3D.❑√2答案C点F2(c,0)到渐近线y=bax的距离|PF2|=|bca-0|❑√1+(ba)2=b(b>0),而|OF2|=c,所以在Rt△OPF2中,由勾股定理...
