第二课时最值、范围、证明专题【选题明细表】知识点、方法题号最值问题2,4范围问题1,3,6证明问题5,71.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为4,且与椭圆x2+=1有相同的离心率,斜率为k的直线l经过点M(0,1),与椭圆C交于不同的两点A,B.(1)求椭圆C的标准方程;(2)当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时,求k的取值范围.解:(1)因为椭圆C的焦距为4,所以c=2.又因为椭圆x2+=1的离心率为,所以椭圆C的离心率e===,所以a=2,b=2,所以椭圆C的标准方程为+=1.(2)设直线l的方程为y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y得(1+2k2)x2+4kx-6=0,所以x1+x2=,x1x2=.由(1)知椭圆C的右焦点F的坐标为(2,0),因为右焦点F在圆的内部,所以·<0,所以(x1-2)(x2-2)+y1y2<0,即x1x2-2(x1+x2)+4+k2x1x2+k(x1+x2)+1<0,所以(1+k2)x1x2+(k-2)(x1+x2)+5=(1+k2)·+(k-2)·+5=<0,所以k<.经检验,当k<时,直线l与椭圆C相交,所以直线l的斜率k的取值范围为(-∞,)2.(2015高考浙江卷)已知椭圆+y2=1上两个不同的点A,B关于直线y=mx+对称.(1)求实数m的取值范围;(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).解:(1)由题意知m≠0,可设直线AB的方程为y=-x+b.由消去y,得(+)x2-x+b2-1=0.因为直线y=-x+b与椭圆+y2=1有两个不同的交点,所以Δ=-2b2+2+>0,①将线段AB中点M(,)代入直线方程y=mx+,解得b=-.②由①②得m<-或m>.(2)令t=∈(-,0)∪(0,),则|AB|=·,且O到直线AB的距离为d=.设△AOB的面积为S(t),所以S(t)=|AB|·d=≤.当且仅当t2=时,等号成立.故△AOB面积的最大值为.3.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点是F(1,0),且离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)设经过点F的直线(不与x轴重合)交椭圆C于M,N两点,线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0,y0),求y0的取值范围.解:(1)设椭圆C的半焦距为c.依题意,得c=1.因为椭圆C的离心率为e=,所以a=2c=2,b2=a2-c2=3.故椭圆C的方程为+=1.(2)当MN⊥x轴时,显然y0=0.当MN与x轴不垂直时,可设直线MN的方程为y=k(x-1)(k≠0).由消去y并整理得(3+4k2)x2-8k2x+4(k2-3)=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),线段MN的中点为Q(x3,y3),则x1+x2=,所以x3==,y3=k(x3-1)=,线段MN的垂直平分线的方程为y+=-(x-).在上述方程中,令x=0,得y0==.当k<0时,+4k≤-4,当且仅当=4k,k=-时等号成立;当k>0时,+4k≥4,当且仅当=4k,k=时等号成立.所以-≤y0<0或0
b>0)的两个焦点为F1,F2,离心率为,直线l与椭圆相交于A,B两点,且满足|AF1|+|AF2|=4,kOA·kOB=-,O为坐标原点.(1)求椭圆的方程;(2)求·的最值.解:(1)椭圆的离心率为,所以=,因为2a=|AF1|+|AF2|=4,所以a=2,即c=2,则b2=4.则椭圆的方程为+=1.(2)当直线AB斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+m,设A(x1,y1),B(x2,y2),由得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,Δ=8(8k2-m2+4)>0,x1+x2=,x1x2=,因为kOAkOB=-,所以=-,所以y1y2=-x1x2=-·=-,又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k2·+km·+m2=,所以-=,即-(m2-4)=m2-8k2,所以4k2+2=m2,则·=x1x2+y1y2=-===2-,所以-2≤·<2,当k=0时,(此时m2=2满足Δ>0),即直线AB平行于x轴时,·最小值为-2.当斜率不存在时,x1=x2,y1=-y2,kOAkOB=·=-=-,所以=2,将A坐标代入椭圆方程得=2,所以·的最大值为2.综上·的最大值为2,·的最小值为-2.5.平面直角坐标系中,O为坐标原点,给定两点A(1,0),B(0,-2),点C满足=α+β,其中α,β∈R,且α-2β=1.(1)求点C的轨迹方程;(2)设点C的轨迹与椭圆+=1(a>b>0)交于两点M,N,且以MN为直径的圆过原点,求证:+为定值;(3)在(2)的条件下,若椭圆的离心率不大于,求椭圆长轴长的取值范围.(1)解:设C(x,y),由=α+β,可得(x,y)=α(1,0)+β(0,-2),所以即有代入α-2β=1,有x+y=1,即点C的轨迹方程为x+y=1.(2)证明:由可得(a2+b2)x2-2a2x+a2-a2b2=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,因为以MN为直径的圆过原点O,则·=0,即有x1x2+y1y2=0,x1x2+(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)+2x1x2=1-+2·=0,可得a2+b2-2a2b2=0,即有+=2为定值.(3)解:+=2,可得b2=.由a>b>0,即1,由e≤,则e2=≤,即1-≤,即2a2-1≤4,又a>1,所以1b>0)的焦距为2,且过点(1,),右焦点为F2.设A,B是C上的两个动点,线段AB的中点M的横坐标为-,线...
