高二数学理寒假专题——数列问题的综合题型与方法北师大版知识精讲【本讲教育信息】一、教学内容专题讲座二：数列问题的综合题型与方法二、教学目标1.理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题。3.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题。三、知识要点分析1.可以列表复习等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质.2.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：（1）定义法：对于n≥2的任意自然数，验证为同一常数。（2）通项公式法：①若=+（n-1）d=+（n-k）d，则{an}为等差数列；②若，则{an}为等比数列。（3）中项公式法：验证都成立。3.在等差数列中，有关Sn的最值问题——常用邻项变号法求解：（1）当>0，d<0时，满足的项数m使得取最大值.（2）当<0，d>0时，满足的项数m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时，注意转化思想的应用。4.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。注意的问题（1）证明数列是等差或等比数列常用定义法，即通过证明或而得。（2）在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便。（3）对于一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。（4）注意一些特殊数列的求和方法。（5）注意与之间关系的转化。如：=，=.用心爱心专心【典型例题】考点一：等差、等比数列基础知识的考查（证明数列是等差或等比数列、求数列通项、前n项和等）例1：已知由正数组成的两个数列，如果是关于的方程的两根.（1）求证：为等差数列；（2）已知分别求数列的通项公式；（3）求数列的前n项和证明：由是关于x的方程的两根得。，是等差数列。（2）由（1）知。。又符合上式，。（3）①②①—②得。=。考点二：数列与函数的综合例2：已知定义域为R的函数，数列满足，用心爱心专心（1）求数列的通项公式；（2）设，设求数列的最值及相应的值．解：（1） ，∴ ，∴，∴，∴又，∴数列是首项为1，公比为的等比数列，∴，∴（2）令，则 ，∴递减，其值分别为，经比较距最近∴当时，有最小值；当时，有最大值0考点三：数列与解析几何问题的综合例3.在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数，点位于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项，为公差的等差数列。⑴求点的坐标；⑵设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛物线的顶点为，且过点，求抛物线的方程。⑶设，等差数列的任一项，其中是中的最大数，，求的通项公式。解：（1）（2）的对称轴垂直于轴，且顶点为.设的方程为：把代入上式，得，的方程为：。（3），用心爱心专心T中最大数.设的公差为，则，由此得考点四：数列与不等式的综合例4.数列中，且满足（1）求数列的通项公式；（2）设=，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。解：（1）由题意，，为等差数列，设公差为，由题意得，.（2）若对任意成立，即对任意成立，的最小值是，的最大整数值是7。即存在最大整数使对任意，均有考点五：数列在实际问题中的应用例5.安徽黄山市投入资金进行生态环境建设，发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少.本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加。（Ⅰ）设n年内（本年度为第一年）总投入为万元，旅游业总收入为万元.写出的表达式；（Ⅱ）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?解析：（Ⅰ）第1年投入800万元，第2年投入800×（1-万元……，第n年投入800×（1－万元所以总投入=800［1+=800用心爱心专心同理：第1年收入400万元，第2年收入400×（1＋万元，……，第n年收入400×（1＋）万元（Ⅱ）1600［（－1］－4000×［1－（］＞0化简得，5×（＋2×（－7＞0设x＝（，5x2－7x＋2＞0∴x＜，x＞1（舍）即（＜n≥5.所以至少经过5年总收入才能超过总投入。...
