3.2双曲线的简单性质1.已知双曲线=1的一条渐近线为y=x,则实数a的值为()A.B.2C.D.4解析:由题意,得,所以a=4.答案:D2.已知△ABP的顶点A,B分别为双曲线=1的左、右焦点,顶点P在双曲线上,则的值等于()A.B.C.D.解析:在△ABP中,由正弦定理知.答案:A3.已知双曲线=1(b>0)的离心率等于b,则该双曲线的焦距为()A.2B.2C.6D.8解析:设双曲线的焦距为2c,由已知得b,又c2=4+b2,解得c=4,则焦距为8.答案:D4.已知双曲线=1与直线y=2x有交点,则双曲线离心率的取值范围为()A.(1,)B.(1,]C.(,+∞)D.[,+∞)解析:因为双曲线的一条渐近线方程为y=x,则由题意得>2.1所以e=.答案:C5.已知双曲线=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,且双曲线的离心率等于,则双曲线的方程为()A.x2-=1B.x2-y2=1C.=1D.-y2=1解析:由题意可得双曲线=1的一个焦点为(,0),所以c=,又⇒a=3,所以b2=c2-a2=1,故双曲线的方程为-y2=1,故选D.答案:D6.双曲线=1的离心率e∈(1,2),则k的取值范围是.解析:双曲线方程可变为=1,则a2=4,b2=-k,c2=4-k,e=,又因为e∈(1,2),则1<<2,解得-120,设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=,x1x2=-,所以|AB|==3.答案:39.求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)过点(3,-),离心率e=;(2)中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,实轴长和虚轴长相等,且过点P(4,-).解(1)若双曲线的焦点在x轴上,设其标准方程为=1(a>0,b>0).因为双曲线过点(3,-),则=1.①又e=,故a2=4b2.②由①②得a2=1,b2=,故所求双曲线的标准方程为x2-=1.若双曲线的焦点在y轴上,设其标准方程为=1(a>0,b>0).同理可得b2=-,不符合题意.3综上可知,所求双曲线的标准方程为x2-=1.(2)由2a=2b,得a=b,所以e=,所以可设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0).因为双曲线过点P(4,-),所以16-10=λ,即λ=6.所以双曲线方程为x2-y2=6.所以双曲线的标准方程为=1.10.导学号01844026已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-).(1)求双曲线的方程;(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:=0;(3)在(2)的条件下,求△F1MF2的面积.(1)解∵e=,∴可设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0).∵过点P(4,-),∴16-10=λ,即λ=6.∴双曲线方程为x2-y2=6,即=1.(2)证明由(1)可知,双曲线中a=b=,∴c=2,∴F1(-2,0),F2(2,0),∴,=-.∵点M(3,m)在双曲线上,∴9-m2=6,m2=3.4故=-1,∴MF1⊥MF2,∴=0.(3)解△F1MF2的底|F1F2|=4,△F1MF2的边F1F2上的高h=|m|=,∴·|F1F2|·|m|=6.5
