第二章直线和圆的方程2.5直线与圆、圆与圆的位置关系2.5.1直线与圆的位置关系课后篇巩固提升基础达标练1.已知直线l:ax-y-a+3=0和圆C:x2+y2-4x-2y-4=0,则直线l和圆C的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.都有可能解析把圆的方程化为(x-2)2+(y-1)2=9,直线方程化为a(x-1)=y-3恒过定点(1,3),而(1,3)在圆C的内部,则直线l和圆C相交,故选A.答案A2.直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是()A.-2或12B.2或-12C.-2或-12D.2或12解析圆的方程为x2+y2-2x-2y+1=0,可化为(x-1)2+(y-1)2=1.由圆心(1,1)到直线3x+4y-b=0的距离为|7-b|5=1,得b=2或b=12,故选D.答案D3.直线y=kx+3被圆x2+y2-6y=0所截得的弦长是()A.6B.3C.2√6D.8解析 圆的方程为x2+y2-6y=0即x2+(y-3)2=9,∴圆心为(0,3),半径为3,而直线y=kx+3过定点(0,3),过圆心,故直线y=kx+3被圆x2+y2-6y=0所截得的弦长即为直径6.答案A4.(多选题)在同一直角坐标系中,直线y=ax+a2与圆(x+a)2+y2=a2的位置不可能为()解析由题意,可得a2>0,直线y=ax+a2显然过点(0,a2),故ABD均不可能.答案ABD5.已知直线ax+by+c=0(ab≠0)与圆x2+y2=1相切,则三边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不存在解析由题意知,|c|√a2+b2=1,∴a2+b2=c2,因此三角形为直角三角形.答案B6.一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为()A.-53或53B.-35或32C.-23或23D.-43或-34解析由光的反射原理知,反射光线的反向延长线必过点(2,-3),设反射光线所在直线的斜率为k,则反射光线所在直线方程为:y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.又因为反射光线与圆相切,所以|-3k-2-2k-3|√k2+1=1,整理为12k2+25k+12=0,解得k1=-43,或k2=-34.答案D7.过点P(3,5)引圆(x-1)2+(y-1)2=4的切线,则切线长为.解析由圆的标准方程(x-1)2+(y-1)2=4,得到圆心A坐标(1,1),半径r=|AB|=2,又点P(3,5)与A(1,1)的距离|AP|=√(3-1)2+(5-1)2=2√5,由直线PB为圆A的切线,得到△ABP为直角三角形,根据勾股定理得|PB|=√|AP|2-|AB|2=√(2√5)2-22=4.则切线长为4.答案48.如下图所示,一座圆拱桥,当水面在某位置时,拱顶离水面2m,水面宽12m,当水面下降1m后,水面宽为m.解析以圆拱拱顶为坐标原点,以水平与圆拱相切的直线为横轴,以过拱顶的竖线为纵轴,建立直角坐标系,如下图所示:由题意可知:设圆的方程为:x2+(y+r)2=r2(其中r为圆的半径),因为拱顶离水面2m,水面宽12m,所以设A(6,-2),代入圆的方程中,得r=10,所以圆的方程为:x2+(y+10)2=100,当水面下降1m后,设A'(x0,-3)(x0>3)代入圆的方程中,得x0=√51,所以此时水面宽2√51m.答案2√519.已知直线l过点(-2,0),当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时,求直线l斜率k的取值范围.解圆心坐标是(1,0),圆的半径是1,设直线方程是y=k(x+2),即kx-y+2k=0,根据点到直线的距离公式,得|k+2k|√k2+1<1,即k2<18,解得-√24r2,从而圆心(0,0)到直线的距离为d=r2√a2+b2∈(0,r),所以直线与圆相交但不过圆心.答案C2.(多选题)若过点A(3,0)的直线l与圆(x-1)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率可能是()A.-1B.-√33C.13D.√2解析由题意知直线l的斜率必存在,设为k,则l的方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=0,圆心C(1,0).半径r=1.直线与圆有公共点,需|k-3k|√k2+1≤1,所以|2k|≤√k2+1,得k2≤13,所以-√33≤k≤√33,对照选项知B,C适合.答案BC3.直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是()A.[2,6]B.[4,8]C.[√2,3√2]D.[2√2,3√2]解析设圆心到直线AB的距离d=|2+0+2|√2=2√2.点P到直线AB的距离为d'.易知d-r≤d'≤d+r,即√2≤d'≤3√2.又AB=2√2,∴S△ABP=12·|AB|·d'=√2d',∴2≤S△ABP≤6.答案A4.由直线y=x-1上的一点向圆C:x2+y2-6x+8=0引切线,则切线长的最小值为()A.1B.√2C.√3D.2解析在直线y=x-1上取一点P,过P向圆引切线,设切点为A.连接CA.在Rt△PAC中,|CA|=r=1.要使|PA|最小,则|PC|应最小.又当PC与直线垂直时,|PC|最小,其最小值为|3-0-1|√2=√2...
