3-1-1数系的扩充和复数的概念[综合提升案·核心素养达成][限时45分钟；满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1．有下列四个命题：①方程2x－5＝0在自然数集N中无解．②方程2x2＋9x－5＝0在整数集Z中有一解，在有理数Q中有两解．③x＝i是方程x2＋1＝0在复数集C中的一个解．④x4＝1在R中有两解，在C中也有两解．其中正确命题的个数是A．1个B．2个C．3个D．4个解析由数系扩充的意义和虚数单位i，易判断④是错误的，因为(±i)4＝1.答案C2．以2i－的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是A．2－2iB．2＋iC．－＋iD.＋i答案A3．已知x，y∈R，且(x＋y)＋2i＝4x＋(x－y)i，则A.B.C.D.解析由复数相等的条件得解得答案C4．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为A．－1B．0C．1D．－1或1解析由题意知解得：x＝－1.答案A5．若a，b∈R，i为虚数单位，且ai＋i2＝b＋i，则A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝－1，b＝－1D．a＝1，b＝－1解析ai＋i2＝－1＋ai＝b＋i，∴由两复数相等的充要条件得，a＝1，b＝－1.答案D6．复数z＝(a＋1)＋(a2－3)i，若z>0，则实数a的值是1A.B．1C．－1D．－解析因为z>0，所以z∈R，故a2－3＝0，解得a＝±，当a＝－时，z<0，故a＝.答案A二、填空题(每小题5分，共15分)7．若x是实数，y是纯虚数且满足2x－1＋2i＝y，则x＝________，y＝________．解析设y＝bi(b≠0，b∈R)，则2x－1＋2i＝bi.∴解得∴x＝，y＝2i.答案2i8．若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)是实数，则a＝______．解析(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)为实数的充要条件是a2－1＝0，∴a＝±1.答案±19．已知复数z＝k2－3k＋(k2－5k＋6)i(k∈R)，且z＜0，则k＝________．解析因为z＜0，所以z∈R，故虚部k2－5k＋6＝0，(k－2)(k－3)＝0，所以k＝2或k＝3，但k＝3时，z＝0，故k＝2.答案2三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(11分)设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，试求实数m取何值时．(1)z为实数.(2)z是纯虚数．解析(1)∵z为实数，∴m2＋3m＋2＝0且m2－2m－2＞0，∴m＝－1或m＝－2.(2)∵z为纯虚数，∴解得m＝3.11．(12分)已知P＝{－1，1，4i}，M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}．若M∪P＝P，求实数m的值．解析因为M∪P＝P，所以M⊆P，即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1得m2－2m＝－1，m2＋m－2＝0，解得m＝1.由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i得m2－2m＝0，m2＋m－2＝4，解得m＝2.综上可知，m＝1或m＝2.212．(12分)设关于x的方程是x2－(tanθ＋i)x－(2＋i)＝0.(1)若方程有实根，求锐角θ和实数根.(2)证明：对任意θ≠kπ＋(k∈Z)，方程无纯虚数根．解析(1)设实根是α，则α2－(tanθ＋i)α－(2＋i)＝0，即α2－tanθ·α－2－(α＋1)i＝0，∵α·tanθ∈R，∴∴α＝－1且tanθ＝1，又0＜θ＜，∴θ＝，α＝－1.(2)证明若方程存在纯虚数根，设为x＝bi(b∈R，b≠0)，则(bi)2－(tanθ＋i)bi－(2＋i)＝0，即此方程组无实数解，所以对任意θ≠kπ＋(k∈Z)，方程无纯虚数根．3
