高考大题规范练(三)数列1．(2015·重庆卷)已知等差数列{an}满足a3＝2，前3项和S3＝。(1)求{an}的通项公式；(2)设等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a15，求{bn}的前n项和Tn。解(1)设{an}的公差为d，则由已知条件得a1＋2d＝2,3a1＋d＝，化简得a1＋2d＝2，a1＋d＝，解得a1＝1，d＝，故通项公式an＝1＋，即an＝。(2)由(1)得b1＝1，b4＝a15＝＝8。设{bn}的公比为q，则q3＝＝8，从而q＝2，故{bn}的前n项和Tn＝＝＝2n－1。2．(2015·四川卷)设数列{an}(n＝1,2,3，…)的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列。(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列的前n项和为Tn，求Tn。解(1)由已知Sn＝2an－a1，有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)。从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1。又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，即a1＋a3＝2(a2＋1)。所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2。所以，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列。故an＝2n。(2)由(1)得＝，所以Tn＝＋＋…＋＝＝1－。3．(2015·浙江卷)已知数列{an}和{bn}满足a1＝2，b1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，b1＋b2＋b3＋…＋bn＝bn＋1－1(n∈N*)。(1)求an与bn；(2)记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn。解(1)由a1＝2，an＋1＝2an，得an＝2n(n∈N*)。由题意知：当n＝1时，b1＝b2－1，故b2＝2。当n≥2时，bn＝bn＋1－bn，整理得＝，所以bn＝n(n∈N*)。(2)由(1)知anbn＝n·2n，因此Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，2Tn＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1，所以Tn－2Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1。故Tn＝(n－1)2n＋1＋2(n∈N*)。4．(2015·合肥质检)已知函数f(x)＝x＋(x>0)，以点(n，f(n))为切点作函数图像的切线ln(n∈N*)，直线x＝n＋1与函数y＝f(x)图像及切线ln分别相交于An，Bn，记an＝|AnBn|。(1)求切线ln的方程及数列{an}的通项公式；(2)设数列{nan}的前n项和为Sn，求证：Sn<1。解(1)对f(x)＝x＋(x>0)求导，得f′(x)＝1－，则切线ln的方程为y－＝(x－n)，即y＝x＋。易知An，Bn，由an＝|AnBn|知an＝＝。(2)证明：∵nan＝＝－，∴Sn＝a1＋2a2＋…＋nan＝1－＋－＋…＋－＝1－<1。5．(2015·天津卷)已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1＝b1＝1，b2＋b3＝2a3，a5－3b2＝7。(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)设cn＝anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和。解(1)设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d，由题意q>0。由已知，有消去d，整理得q4－2q2－8＝0。又因为q>0，解得q＝2，所以d＝2。所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1，n∈N*；数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1，n∈N*。(2)由(1)有cn＝(2n－1)·2n－1，设{cn}的前n项和为Sn，则Sn＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－3)×2n－2＋(2n－1)×2n－1，2Sn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，上述两式相减，得－Sn＝1＋22＋23＋…＋2n－(2n－1)×2n＝2n＋1－3－(2n－1)×2n＝－(2n－3)×2n－3，所以，Sn＝(2n－3)·2n＋3，n∈N*。6．(2015·杭州质检)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝1－，其中n∈N*。(1)设bn＝，求证：数列{bn}是等差数列，并求出{an}的通项公式；(2)设cn＝，数列{cncn＋2}的前n项和为Tn，是否存在正整数m，使得Tn<对于n∈N*恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由。解(1)∵bn＋1－bn＝－＝－＝－＝2(常数)，∴数列{bn}是等差数列。∵a1＝1，∴b1＝2，因此bn＝2＋(n－1)×2＝2n，由bn＝得an＝。(2)由cn＝，an＝得cn＝，∴cncn＋2＝＝2，∴Tn＝2＝2<3，依题意要使Tn<对于n∈N*恒成立，只需≥3，即≥3，解得m≥3或m≤－4，又m为正整数，所以m的最小值为3。
