三相似三角形的判定及性质一、基础达标1.在△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP·AB；④AB·CP＝AP·CB.其中，能判定△APC与△ACB相似的条件是()A.①②④B.①③④C.②③④D.①②③解析如图， ∠A＝∠A，∴①∠ACP＝∠B，②∠APC＝∠ACB时，都满足三角形相似的条件；当AC2＝AP·AB时，即＝，∴③也满足相似条件；④中两个对应边的夹角不是∠A，故不相似.答案D2.如图所示，△ABC∽△AED∽△AFG，DE是△ABC的中位线，△ABC与△AFG的相似比是3∶2，则△AED与△AFG的相似比是()A.3∶4B.4∶3C.8∶9D.9∶8解析因为△ABC与△AFG的相似比是3∶2，故AB∶AF＝3∶2，又△ABC与△AED的相似比是2∶1，即AB∶AE＝2∶1，故△AED与△AFG的相似比k＝AE∶AF＝·＝×＝.故选A.答案A3.在△ABC中，D，E分别为AB，AC上的点，且DE∥BC，△ADE的面积是2cm2，梯形DBCE的面积为6cm2，则DE∶BC的值为()A.1∶B.1∶2C.1∶3D.1∶4解析如图， DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE∶S△ABC＝2∶(6＋2)＝1∶4，∴DE∶BC＝1∶2.答案B4.(2016·黄冈调考)如图，在▱ABCD中，AE∶EB＝1∶2，△AEF的面积为6，则△ADF的面积为________.解析 AE∥DC，AE∶EB＝1∶2，∴△AEF∽△CDF，且相似比＝＝＝＝，又△AEF的边EF上的高与△ADF的边DF上的高相等，∴＝＝.又S△AEF＝6，∴S△ADF＝18.答案185.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，对角线BD⊥DC，AD＝3，BC＝7，则BD2＝________.解析 ∠ADC＋∠BCD＝180°，∠BDC＝90°，∴∠ADB＋∠BCD＝90°.而∠ADB＋∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠BCD.又∠BAD＝∠BDC＝90°，∴Rt△ABD∽Rt△DCB.∴＝.1∴BD2＝AD·BC＝3×7＝21.答案216.如图所示，在▱ABCD中E，F分别在AD与CB的延长线上，请写出图中所有的相似三角形.解 AB∥CD，∴△EDH∽△EAG，△CHM∽△AGM，△FBG∽△FCH.又 AD∥BC，∴△AEM∽△CFM，△EDH∽△FCH，△AEG∽△BFG，△ABC∽△CDA.∴图中的相似三角形有△AEM∽△CFM，△AGM∽△CHM，△EDH∽△EAG∽△FBG∽△FCH，△ABC∽△CDA.二、能力提升7.在△ABC中，AB＝9，AC＝12，BC＝18，点D为AC上一点，DC＝AC，在AB上取一点E，得到△ADE，若△ADE与△ABC相似，则DE的长为()A.6B.8C.6或8D.14解析当△ADE∽△ACB时，则＝，∴DE＝＝6，当△ADE∽△ABC时，则＝，∴DE＝＝8.答案C8.如图，BD⊥AE，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，AD＝3.则DE＝________，CE＝________.解析在Rt△ACE和Rt△ADB中，∠A是公共角，∴△ACE∽△ADB，∴＝.∴AE＝＝＝＝8.则DE＝AE－AD＝8－3＝5.在Rt△ACE中，CE＝＝＝2.答案529.如图所示，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则BE＝________.解析 ∠B＝∠D，∠AEB＝∠ACD＝90°，∴△AEB∽△ACD，从而得＝，＝，解得AE＝2，故BE＝＝4.答案410.如图，已知在正方形ABCD中，P是BC上的点，有BP＝3PC，Q是CD的中点.求证：△ADQ∽△QCP.证明在正方形ABCD中， Q是CD的中点，∴＝2. ＝3，∴＝4.又BC＝2DQ，∴＝2.在△ADQ和△QCP中，＝＝2，∠C＝∠D＝90°，∴△ADQ∽△QCP.11.如图所示，△ABC为正三角形，D，E分别是AC，BC边上的点(不在顶点)，∠BDE＝60°.2(1)求证：△DEC∽△BDA；(2)若正三角形ABC的边长为6，当D点在什么位置时，可使BE最短，此时BE长是多少？(1)证明 ∠BDE＝60°，∴∠BDC＝∠BDE＋∠CDE＝60°＋∠CDE.又∠BDC是△ABD的一个外角，且∠A＝60°，∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝60°＋∠ABD，∴∠CDE＝∠ABD.又 ∠A＝∠C＝60°，∴△DEC∽△BDA.(2)解设DC＝x，BE＝y，则EC＝6－y，AD＝6－x.由(1)可得＝，整理得＝，即y＝x2－x＋6(0AE).(1)△AEF与△ECF是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由.(2)设＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BCF相似，若存在，证明你的结论，并求出k的值；若不存在，请说明理由.解(1)相似.在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°. EF⊥EC，A，D，E共线，...
