初三数学二次函数一题多解1.抛物线y＝x2－2(m＋)x＋2(m＋1)与y轴正半轴交于点C，与x轴交于A，B两点，并且点B在点A的右边，△ABC的面积是△OAC的面积的3倍，求这条抛物线的解析式．解法一：解这个方程组，得m1＝0，m2＝－，∴y1＝x2－x＋2，y2＝x2－x＋2．解法二：设抛物线与x轴交点横坐标分别为xA，xB．由韦达定理，得xA＋xB＝4m＋5①xA·xB＝4m＋4② S△ABC∶S△OAC＝3∶1，∴xA∶xB＝1∶3③解①②③，得m1＝0，m2＝－，∴y1＝x2－x＋1，y2＝x2－x＋2．ACBElxyO2.已知二次函数图象过点（－1，－1），对称轴是x＋2＝0，且在x轴上截得的线段长为2，求此函数解析式．解法一：设所求解析式为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）．由题意得，解得．∴所求的解析式为y＝x2＋4x＋2．解法二： 图象对称轴为x＝－2，它与x轴的两个交点A，B之间的距离是2，因此有A（－2－，0），B（－2＋，0），所求解析式为y＝a[x－(－2－)][x－(－2＋)]． 点（－1，－1）在这条抛物线上，∴－1＝a(－1＋2＋)(－1＋2－)，即－1＝a(1＋)(1－)．解得a＝1．∴所求解析式为y＝［x－(－2－)］［x－(－2＋)］，即y＝x2＋4x＋2．3.已知二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别为x1＝4，x2＝－2，且图象经过点（0，－4），求这个二次函数的解析式．解法一：设所求二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c． 图象与x轴交点的横坐标分别为x1＝4，x2＝－2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，由一元二次方程的根与系数关系，得＝x1＋x2＝4－2＝2①＝x1x2＝4·(－2)＝－8②由图象过点（0，－4），得c＝－4．把c＝－4代入②，得，∴a＝．把a＝代入①，得，∴b＝－1，∴所求二次函数解析式为y＝x2－x－4．解法二：22aac4b2a2b1cba2＝｜｜－＝－－＝－＋－ x1＝4，x2＝－2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，∴可设所求二次函数的解析式为y＝a(x－x1)(x－x2)，即y＝a(x－4)(x＋2)．把点（0，－4）的坐标代入上式，得－4＝a(－4)·2，∴a＝，∴所求二次函数的解析式是y＝(x－4)(x＋2)，即y＝x2－x－4．4.已知二次函数图象过点（－1，－1），对称轴是x＋2＝0，且在x轴上截得的线段长为2，求此函数解析式．解法一：设所求解析式为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）．由题意得，解得．∴所求的解析式为y＝x2＋4x＋2．解法二： 图象对称轴为x＝－2，它与x轴的两个交点A，B之间的距离是2，∴A（－2－，0），B（－2＋，0），设y＝a[x－(－2－)][x－(－2＋)]．把（－1，－1）代入，得a＝1．∴y＝[x－(－2－)][x－(－2＋)]，即y＝x2＋4x＋2．5.已知一抛物线与x轴两交点间的距离为2，且经过P（0，－16），顶点在直线y＝2上，求它的解析式．解法一：设抛物线为y＝ax2＋bx＋c． 抛物线与x轴两交点间的距离为2，∴．22aac4b2a2b1cba2＝｜｜－＝－－＝－＋－ 抛物线顶点在直线y＝2上，∴．当x＝0时，y＝c＝－16．解方程组，得，，∴y＝－2x2＋12x－16或y＝－2x2－12x－16．解法二：设所求解析式为y＝a(x－h)2＋2，设方程a(x－h)2＋2＝0的两根为x1，x2． |x1－x2|＝2，∴x1＝h＋1，x2＝h－1．把x1＝h＋1代入方程，得a(h＋1－h)2＋2＝0，∴a＝－2，∴y＝－2(x－h)2＋2．把P（0，－16）代入上式，得h＝±3，∴y＝－2(x＋3)2＋2或y＝－2(x－3)2＋2．6.已知二次函数的图象与x轴交点的横坐标为x1＝－1，x2＝3，顶点坐标为（1，－），且图象过点（0，－2），求这个二次函数的解析式．解法一：设函数为y＝ax2＋bx＋c．方程ax2＋bx＋c＝0，由韦达定理，得＝x1＋x2＝－1＋3＝2，①＝x1·x2＝(－1)×3＝－3．②把（0，－2）代入y＝ax2＋bx＋c，得c＝－2．③把③代入②，得a＝，把a＝代入①，得b＝－，∴y＝x2－x－2．解法二：设函数为y＝ax2＋bx＋c．把（－1，0），（3，0），（0，－2）代入，得，解得，∴y＝x2－x－2．解法三：设函数为y＝a(x＋1)(x－3)．把点（0，－2）的坐标代入，得－2＝－3a，∴a＝，7.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为（3，－2），且与x轴交点间的距离为4，求其解析式．解法一：设抛物线的解析式为y＝a(x－3)2－2，即y＝ax2－6ax＋9a－2，它与x轴的两交点为A（x1，0），B（x2，0），则AB＝|x1－x2|＝＝． a＞0，∴a＝，2c34b32a＝－＝－＝∴y＝(x－3)2－2＝x2...
