名校专题----圆锥曲线培优训练41、在中，是椭圆在轴上方的顶点，的方程是，当在直线上运动时．（1）求外接圆的圆心的轨迹的方程；（2）过定点作互相垂直的直线，分别交轨迹于和，求四边形面积的最小值．解：（1）由椭圆方程得点直线方程是且在直线上运动．可设则的垂直平分线方程为①的垂直平分线方程为②是的外接圆圆心，点的坐标满足方程①和②，由①和②联立消去得故圆心的轨迹的方程为（2）由图可知，直线和的斜率存在且不为零，设的方程为，，的方程为．由得△=直线与轨迹交于两点．设，则．同理可得：四边形的面积当且仅当，即时，等号成立．故四边形的面积的最小值为．2、已知圆O:交轴于A，B两点,曲线C是以为长轴,离心率为的椭圆,其左焦点为F.若P是圆O上一点,连结PF,过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的左准线于点Q.(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)若点P的坐标为(1,1),求证:直线PQ与圆相切；(Ⅲ)试探究:当点P在圆O上运动时(不与A、B重合),直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由.解：(Ⅰ)因为,所以c=1则b=1,即椭圆的标准方程为(Ⅱ)因为(1,1),所以,所以,所以直线OQ的方程为y=－2x又椭圆的左准线方程为x=－2,所以点Q(－2,4)所以,又,所以,即,故直线与圆相切(Ⅲ)当点在圆上运动时,直线与圆保持相切xyOPFQAB证明:设(),则,所以,,所以直线OQ的方程为所以点Q(－2,)所以,又,所以,即,故直线始终与圆相切3、已知圆上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足.（I）求点G的轨迹C的方程；（II）过点（2，0）作直线l，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设是否存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由.1.解：（1）Q为PN的中点且GQ⊥PNGQ为PN的中垂线|PG|=|GN|∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长，半焦距，∴半轴长b=2，∴点G的轨迹方程是（2）因为，所以四边形OASB为平行四边形若存在l使得||=||，则四边形OASB为矩形若l的斜率不存在，直线l的方程为x=2，由矛盾，故l的斜率存在.设l的方程为①②把①、②代入∴存在直线使得四边形OASB的对角线相等.2.已知椭圆的长轴长为，离心率为，分别为其左右焦点．一动圆过点，且与直线相切。(Ⅰ)(ⅰ)求椭圆的方程；(ⅱ)求动圆圆心轨迹的方程；(Ⅱ)在曲线上有两点，椭圆上有两点，满足与共线，与共线，且，求四边形面积的最小值。解：(Ⅰ)(ⅰ)由已知可得，则所求椭圆方程.…3分(ⅱ)由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线的焦点为，准线方程为，则动圆圆心轨迹方程为.…………6分(Ⅱ)当直线MN的斜率不存在时，|MN|=4，此时PQ的长即为椭圆长轴长，|PQ|=4，从而.…………8分设直线的斜率为，则,直线的方程为：直线PQ的方程为，设由，消去可得由抛物线定义可知：…………10分由，消去得，从而，…………12分∴令， k>0，则，则所以…………14分所以四边形面积的最小值为8.…………15分3.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，，且，点在椭圆上．⑴求椭圆的方程；⑵过的直线与椭圆相交于、两点，且的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程．3.⑴设椭圆的方程为，由题意可得：椭圆两焦点坐标分别为，．∴．∴，又，，故椭圆的方程为．⑵当直线轴，计算得到：，，，不符合题意．当直线与轴不垂直时，设直线的方程为：，由，消去y得．显然成立，设，，则，．又即，又圆的半径．所以，化简，得，即，解得．所以，．故圆的方程为：．⑵另解：设直线的方程为，由，消去得，恒成立，设，，则，．所以．又圆的半径为．所以，解得，所以．故圆的方程为：．4.已知抛物线的焦点为F，椭圆C：的离心率为，是它们的一个交点，且．（I）求椭圆C的方程；（II）若直线与椭圆C交于两点A、B，点D满足=0，直线FD的斜率为，试证明．4.解：（I）设将，根据抛物线定义，，∴，…………（2分） ，即，∴，椭圆是………（4分）把代入，得a=2，b=1，椭圆C的方程为；…………（6分）（II）方法1：，点D为线段AB的中点…………（8分）设，，∴，由，得，…………（10分） ，∴，，∴．…………（12分）方法2：，点D为线段AB中点，…………（...
