学习直线和圆相切三注意(知识梳理)直线和圆相切是圆一章的重点内容,必须认真学好,并注意以下三点:一、注意掌握几何判定法学习直线和圆相切的方法,除掌握常用的代数方法外,还要注意掌握几何方法——直线与圆相切的充要条件是:圆心到直线的距离等于此圆的半径.例1求证:如果b2=r2(1+k2),那么直线y=kx+b与圆x2+y2=r2相切.证明∵圆x2+y2+r2的圆心(0,0)到直线y=kx+b即kx-y-b=0的距离两边平方,并注意到b2=r2(1+k2),得故直线y=kx+b与圆相切.二、注意求切线方程防止丢解例2求过点M(2,4)向圆(x-1)2+(y+3)2=1所引的切线方程.解易判定点M在此圆外.当过点M的直线的倾角时,可设直线方程为y-4=k(x-2)(1)把(1)代入圆的方程并化简整理,得(1+k2)x2-(4k2-14k+2)x+4k2-28k=0该方程的判别式△=56k-192∵直线(1)与圆相切,∴△=56k-192=0,解得k=,代入(1)得y-4=(x-2)当过M的直线的倾斜角α=时,这条直线的方程是x=2.∵圆心(1,-3)到该直线距离d=1,∴x=2是所求的另一条切线.因此,所求的两条切线方程是24x-7y-20=0和x=2.评注对于α=时的情况不可遗漏,否则可能丢掉一条切线(如题中的x=2).三、求圆的方程注意用判定方法中的几何性质例3一个圆经过点P(2,-1)和x-y=1相切,且圆心在直线y=-2x上,求此圆的方程.解当圆与直线相切时,圆心到直线的距离等于半径.设所求圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2,由题设条件可得解之得所求圆的方程是用心爱心专心(x-1)2+(y+2)2=2或(x-9)2+(y+18)2=338.用心爱心专心