8.6热点专题——立体几何中的热点问题1．(2016·江西师大附中模拟)如图，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB＝2，AD＝AF＝1，∠BAF＝60°，O，P分别为AB，CB的中点，M为底面△OBF的重心．(1)求证：平面ADF⊥平面CBF；(2)求证：PM∥平面AFC.【证明】(1) 矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，CB⊥AB，∴CB⊥平面ABEF.又AF⊂平面ABEF，∴CB⊥AF.又AB＝2，AF＝1，∠BAF＝60°，由余弦定理知BF＝，AF2＋BF2＝AB2，得AF⊥BF. BF∩CB＝B，∴AF⊥平面CFB.又 AF⊂平面ADF，∴平面ADF⊥平面CBF.(2)连接OM并延长交BF于H，则H为BF的中点，又P为CB的中点，连接PH，∴PH∥CF，又 AF⊂平面AFC，∴PH∥平面AFC.连接PO，则PO∥AC，AC⊂平面AFC，PO∥平面AFC.PO∩PH＝P，∴平面POH∥平面AFC，又PM⊂平面POH，∴PM∥平面AFC.2．(2016·南宁模拟)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，PA＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，且PM＝2MC，N为AD的中点．(1)求证：AD⊥平面PNB；(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥PNBM的体积．【解析】(1)证明 PA＝PD，N为AD的中点，∴PN⊥AD. 底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，∴BN⊥AD. PN∩BN＝N，∴AD⊥平面PNB.(2) PA＝PD＝AD＝2，∴PN＝NB＝， 平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PN⊥AD，∴PN⊥平面ABCD，∴PN⊥NB，∴S△PNB＝××＝. AD⊥平面PNB，AD∥BC，∴BC⊥平面PNB. PM＝2MC，∴VPNBM＝VMPNB＝VCPNB＝×××2＝.3．(2016·山西四校联考)如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，矩形DCBE所在的平面垂直于圆O所在的平面，AB＝4，BE＝1.(1)证明：平面ADE⊥平面ACD；(2)当三棱锥CADE的体积最大时，求点C到平面ADE的距离．【解析】(1)证明 AB是直径，∴BC⊥AC.又四边形DCBE为矩形，∴CD⊥DE，BC∥DE，∴DE⊥AC. CD∩AC＝C，∴DE⊥平面ACD.又DE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACD.(2)由(1)知VCADE＝VEACD＝×S△ACD×DE＝××AC×CD×DE＝×AC×BC≤×(AC2＋BC2)＝×AB2＝，当且仅当AC＝BC＝2时等号成立．∴当AC＝BC＝2时，三棱锥CADE的体积最大，为.此时，AD＝＝3，S△ADE＝×AD×DE＝3，设点C到平面ADE的距离为h，则VCADE＝×S△ADE×h＝，h＝.4．(2016·长春模拟)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝1，点E，F分别为AB和PD的中点．(1)求证：直线AF∥平面PEC；(2)求三棱锥PBEF的表面积．【解析】(1)证明如图，作FM∥CD交PC于M，连接ME. 点F为PD的中点，∴FM綊CD，又AE綊CD，∴AE綊FM，∴四边形AEMF为平行四边形，∴AF∥EM， AF⊄平面PEC，EM⊂平面PEC，∴直线AF∥平面PEC.(2)连接ED，BD，可知ED⊥AB，⇒AB⊥PE，AB⊥FE.故S△PEF＝PF×ED＝××＝；S△PBF＝PF×BD＝××1＝；S△PBE＝PE×EB＝××＝；S△BEF＝EF×EB＝×1×＝.因此三棱锥PBEF的表面积SPBEF＝S△PEF＋S△PBF＋S△PBE＋S△BEF＝.5．在如图①所示的半圆O中，AB为直径，C为半圆O(A，B除外)上任一点，D，E分别在AO，AC上，DE⊥AB.现将△ABC沿DE折起使得AD⊥BD，从而构成四棱锥ABCED，如图②所示．(1)在图②中，若F是BC上的点，且EC∥平面ADF.求证：BC⊥AF；(2)若翻折前DC＝，AD＝1，∠BAC＝30°，求翻折后四棱锥ABCED的体积．【解析】(1)证明因为EC∥平面ADF，平面BCED∩平面ADF＝DF，所以EC∥DF.由已知可得EC⊥BC，所以DF⊥BC.又AD⊥BD，AD⊥DE，DE∩BD＝D，所以AD⊥平面BCED.又BC⊂平面BCED，所以AD⊥BC.又AD∩DF＝D，所以BC⊥平面ADF.又AF⊂平面ADF，所以BC⊥AF.(2)设半圆O的半径为R，在图中连接OC，因为∠BAC＝30°，AB⊥DE，AC⊥BC，AD＝1，所以DE＝AD·tan30°＝，∠AOC＝120°，DO＝R－1，OC＝R.又DC＝，在△OCD中，由余弦定理得DC2＝OD2＋OC2－2OD·OC·cos120°，即7＝(R－1)2＋R2－2(R－1)·R·，即(R－2)(R＋1)＝0，解得R＝2或R＝－1(舍去)．所以AC＝2R·cos30°＝2，BC＝2R·sin30°＝2.所以S四边形BCED＝S△ABC－S△ADE＝×2×2－×1×＝.由(1)知四棱锥ABCED的高为AD＝1，所以四棱锥ABCED的体积为V＝×AD×S四边形BCED＝×1×＝.6．如图所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊥BC，...
