第二节平面向量基本定理及坐标表示A组基础题组1.已知a=(3,-2),b=(-2,1),c=(7,-4),则()A.c=a+2bB.c=a-2bC.c=2b-aD.c=2a-b答案B设c=xa+yb,所以(7,-4)=(3x-2y,-2x+y),所以{3x-2y=7,-2x+y=-4,解得{x=1,y=-2,所以c=a-2b.2.已知向量⃗AC,⃗AD和⃗AB在边长为1的正方形网格中的位置如图所示,若⃗AC=λ⃗AB+μ⃗AD,则λ+μ等于()A.2B.-2C.3D.-3答案A建立平面直角坐标系,如图所示,则⃗AD=(1,0),⃗AC=(2,-2),⃗AB=(1,2).因为⃗AC=λ⃗AB+μ⃗AD,所以(2,-2)=λ(1,2)+μ(1,0)=(λ+μ,2λ),所以{2=λ+μ,-2=2λ,解得{λ=-1,μ=3,所以λ+μ=2.故选A.3.若α,β是一组基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α、β下的坐标.现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为()A.(2,0)B.(0,-2)C.(-2,0)D.(0,2)答案D由已知可得a=-2p+2q=(-2,2)+(4,2)=(2,4).设a=xm+yn,则(2,4)=x(-1,1)+y(1,2)=(-x+y,x+2y),∴{-x+y=2,x+2y=4,解得x=0,y=2.故选D.4.(2018河南中原名校联考)如图所示,矩形ABCD的对角线相交于点O,E为AO的中点,若⃗DE=λ⃗AB+μ⃗AD(λ,μ为实数),则λ2+μ2等于()A.58B.14C.1D.516答案A⃗DE=12⃗DA+12⃗DO=12⃗DA+14⃗DB=12⃗DA+14(⃗DA+⃗AB)=14⃗AB-34⃗AD,所以λ=14,μ=-34,故λ2+μ2=58,故选A.5.在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),C为坐标平面内第一象限内一点,且∠AOC=π4,|⃗OC|=2,若⃗OC=λ⃗OA+μ⃗OB,则λ+μ=()A.2❑√2B.❑√2C.2D.4❑√2答案A因为C为第一象限内一点且|⃗OC|=2,∠AOC=π4,所以C(❑√2,❑√2),又⃗OC=λ⃗OA+μ⃗OB,所以(❑√2,❑√2)=λ(1,0)+μ(0,1)=(λ,μ),所以λ=μ=❑√2,λ+μ=2❑√2.6.已知P={a|a=(1,0)+m(0,1),m∈R},Q={b|b=(1,1)+n(-1,1),n∈R}是两个向量集合,则P∩Q等于()A.{(1,1)}B.{(-1,1)}C.{(1,0)}D.{(0,1)}答案A设a=(x,y),则P={(x,y)∨{x=1,y=m,m∈R},∴集合P是直线x=1上的点的集合.同理,集合Q是直线x+y=2上的点的集合,即P={(x,y)|x=1,y∈R},Q={(x,y)|x+y-2=0},∴P∩Q={(1,1)}.故选A.7.已知A(1,1),B(3,-1),C(a,b),若A,B,C三点共线,则a,b的关系式为.答案a+b=2解析由已知得⃗AB=(2,-2),⃗AC=(a-1,b-1),∵A,B,C三点共线,∴⃗AB∥⃗AC.∴2(b-1)+2(a-1)=0,即a+b=2.8.在平行四边形ABCD中,⃗AB=e1,⃗AC=e2,⃗NC=14⃗AC,⃗BM=12⃗MC,则⃗MN=.(用e1,e2表示)答案-23e1+512e2解析∵⃗NC=14⃗AC=14e2,∴⃗CN=-14e2.又∵⃗BM=12⃗MC,⃗BM+⃗MC=⃗BC=⃗AC-⃗AB=e2-e1,∴⃗MC=23(e2-e1),∴⃗MN=⃗MC+⃗CN=23(e2-e1)-14e2=-23e1+512e2.9.如图,在同一个平面内,向量⃗OA,⃗OB,⃗OC的模分别为1,1,❑√2,⃗OA与⃗OC的夹角为α,且tanα=7,⃗OB与⃗OC的夹角为45°.若⃗OC=m⃗OA+n⃗OB(m,n∈R),求m+n的值.解析解法一:∵tanα=7,α∈[0,π],∴cosα=❑√210,sinα=7❑√210,∵⃗OA与⃗OC的夹角为α,∴❑√210=⃗OA·⃗OC|⃗OA||⃗OC|,∵⃗OC=m⃗OA+n⃗OB,|⃗OA|=|⃗OB|=1,|⃗OC|=❑√2,∴❑√210=m+n⃗OA·⃗OB❑√2,①又∵⃗OB与⃗OC的夹角为45°,∴❑√22=⃗OB·⃗OC|⃗OB||⃗OC|=m⃗OA·⃗OB+n❑√2,②又cos∠AOB=cos(45°+α)=cosαcos45°-sinαsin45°=❑√210×❑√22-7❑√210×❑√22=-35,∴⃗OA·⃗OB=|⃗OA|·|⃗OB|·cos∠AOB=-35,将其代入①②得m-35n=15,-35m+n=1,两式相加得25m+25n=65,所以m+n=3.解法二:过C作CM∥OB,CN∥OA,分别交线段OA,OB的延长线于点M,N,则⃗OM=m⃗OA,⃗ON=n⃗OB,由正弦定理得|⃗OM|sin45°=|⃗OC|sin(135°-α)=|⃗ON|sinα,∵|⃗OC|=❑√2,由解法一知,sinα=7❑√210,cosα=❑√210,∴|⃗OM|=❑√2sin45°sin(135°-α)=1sin(45°+α)=54,|⃗ON|=❑√2sinαsin(135°-α)=❑√2×7❑√210sin(45°+α)=74,又⃗OC=m⃗OA+n⃗OB=⃗OM+⃗ON,|⃗OA|=|⃗OB|=1,∴m=54,n=74,∴m+n=3.B组提升题组1.在平面直角坐标系中,已知向量a=(1,2),a-12b=(3,1),c=(x,3),若(2a+b)∥c,则x=()A.-2B.-4C.-3D.-1答案D∵a-12b=(3,1),a=(1,2),∴a-(3,1)=12b,则b=(-4,2).∴2a+b=(-2,6).又(2a+b)∥c,∴-6=6x,∴x=-1.故选D.2.在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),C(-1,c)(c>0),且|⃗OC|=2,若⃗OC=λ⃗OA+μ⃗OB,其中λ,μ∈R,则λ+μ的值为.答案❑√3-1解析因为|⃗OC|=2,所以|⃗OC|2=1+c2=4,因为c>0,所以c=❑√3.因为⃗OC=λ⃗OA+μ⃗OB,所以(-1,❑√3)=λ(1,0)+μ(0,1),所以λ=-1,μ=❑√3,所以λ+μ=❑√3-1.3.如图,G是△OAB的重心,P,Q分别是边OA,OB上的动点,且P,G,Q三点共线.(1)设⃗PG=λ⃗PQ,将⃗OG用λ,⃗OP,⃗OQ表示;(2)设⃗OP=x⃗OA,⃗OQ=y⃗OB,求证:1x+1y是定值.解析(1)⃗OG=⃗OP+⃗PG=⃗OP+λ⃗PQ=⃗OP+λ(⃗OQ-⃗OP)=(1-λ)⃗OP+λ⃗OQ.(2)证明:由(1)得⃗OG=(1-λ)⃗OP+λ⃗OQ=(1-λ)x⃗OA+λy⃗OB,因为G是△OAB的重心,所以⃗OG=23⃗OM=23×12(⃗OA+⃗OB)=13⃗OA+13⃗OB.而⃗OA,⃗OB不共线,所以{(1-λ)x=13,λy=13.解得{1x=3-3λ,1y=3λ.所以1x+1y=3,即1x+1y为定值.
