高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 第三节 相似三角形的性质课后导练 新人教A版选修4-1-新人教A版高二选修4-1数学试题VIP免费

第三节相似三角形的性质课后导练基础达标1.如图1-4-6,D、E分别是△ABC边AB、AC上的点,且DE∥BC,BD=2AD,那么△ADE的周长∶△ABC的周长等于()图1-4-6A.1∶2B.1∶3C.2∶3D.1∶9解析： DE∥BC,∴△ADE∽△ABC. BD=2AD,∴AB=3AD.∴ABAD=31.∴的周长的周长ABCADE=ABAD=31.答案:B2.如图1-4-7,已知D、E分别是△ABC的AB、AC边上一点,DE∥BC且S△ADE:S△四边形DBCE=1∶3,那么AD∶AB等于()图1-4-7A.41B.31C.21D.32解析： DE∥BC,∴△ADE∽△ABC∴(ABAD)2=ABCADESS.又 S△ADE∶S四边形DBCE=1∶3,∴S△ADE∶S△ABC=1:4.∴(ABAD)2=41,即ABAD=21.答案:C3.如图1-4-8,Rt△ABC中,∠C=90°,CD是斜边AB上的高,∠B=30°,则△ACD与△CDB的内切圆直径之比为()1图1-4-8A.1∶2B.1∶2C.1∶3D.无法确定解析： △ADC∽△ACB,△BCD∽△BAC，∴△ACD∽△CBD.∴△ACD的内切圆直径∶△CBD的内切圆直径=AC∶CB.又 ∠B=30°,∴AC=21AB. BC=31,2322CBACACAB，答案:C4.如图1-4-9,梯形ABCD的对角线交于点O,有以下四个结论:①△AOB∽△COD;②△AOD∽△AOB;③S△DOC∶S△AOD=DC∶AB;④S△AOD=S△BOC.其中始终正确的有()图1-4-9A.1个B.2个C.3个D.4个解析： DC∥AB,∴△AOB∽△COD.∴①正确，②无依据.③ S△DOC∶S△AOD=OC∶OA，又△AOB∽△COD,∴OC∶OA=DC∶AB.∴S△DOC∶S△AOD=DC∶AB，正确.④ △ABD与△ABC等底等高，∴S△ABD=S△ABC.∴S△ABD-S△ABO=S△ABC-S△ABO，即S△AOD=S△BOC.综上，①③④正确.答案：C5.如图1-4-10，BDEF是平行四边形，如果CD∶DB=2∶3,那么是S△ABC的()图1-4-10A.94B.136C.196D.25122解析： DE∥AB,∴△CDE∽△CBA.∴CBACDESS=(CBCD)2.又 CD∶DB=2∶3,∴CD∶CB=2∶5.∴CABCDESS=(CBCD)2=(52)2=254.∴S△CDE=254S△CAB. DE∥AB,∴CACE=CBCD=52.∴ACAE=53.同理，可得S△AFE=259S△CAB.∴=S△ABC-S△AFE-S△EDC=S△ABC-259S△ABC-254S△ABC=2512S△ABC.答案:D综合运用6.如图1-4-11,ABCD中,E是AB延长线上一点,DE交BC于F,已知BE∶AB=2∶3,S△BEF=4,求S△CDF.图1-4-11解析： 四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC,∠C=∠FBE,∠E=∠CDF.∴△DCF∽△EBF.又BE∶AB=2∶3,∴BE∶DC=2∶3.∴CDFBEFSS=(CDBE)2=94.∴S△CDF=49·S△BEF=49×4=9.7.如图1-4-12,已知△ABC的面积为60cm2,D为BC上一点,且BD∶DC=1∶3,E、F是AC和AB上的点,四边形EFDC的面积等于△BCE的面积，求△ABE的面积.图1-4-12解析：连结DE, S四边形EFDC=S△BCE,3∴S四边形EFDC-S△DCE=S△BCE-S△DCE.∴S△DEF=S△BDE.由△DEF与△BDE同底得它们同高,从而DE∥AB.∴ECAE=DCBD=31.又BCEABESS=ECAE=31(它们同高),∴ABCABESS=41.∴S△ABE=41S△ABC=15cm2.8.如图1-4-13,△PQR∽△P′Q′R′且均为等边三角形,它们的重叠部分是一个六边形.设这个六边形的边长为AB=a1,BC=b1,CD=a2,DE=b2,EF=a3,FA=b3.图1-4-13求证:a12+a22+a32=b12+b22+b32.证明:易证△APB∽△CQ′B∽△CQD∽△ER′D∽△ERF∽△AP′F，它们的面积比为对应边的平方比,设比例系数为k,则S△APB=AB2·k=a12·k,S△CQ′B=CB2·k=b12·k,S△CQD=CD2·k=a22·k,S△ER′D=ED2·k=b22·k,S△ERF=EF2·k=a32·k,S△AP′F=FA2·k=b32·k.由于两个正三角形未重叠部分应有相等面积,∴(a12+a22+a32)k=(b12+b22+b32)k.∴a12+a22+a32=b12+b22+b32.温馨提示此题巧妙地应用了比例系数k,使得计算量显著降低，应用比例系数k解决比例问题是我们常用的技巧.拓展探究9.已知E、F、G、H分别是正方形的边AB、BC、CD、DA的中点,则（1）求四边形EFGH与正方形ABCD的面积比.(2)若将正方形改为任意四边形，结论还成立吗?若不成立，说明理由；若成立,给出证明.解析：(1)如图1-4-14,易证△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.4图1-4-14设正方形边长为2a,则S正方形ABCD=4a2，S△AEH=21a2.∴S四边形EFGH=4×21a2=2a2.∴S四边形EFGH∶S正方形ABCD=1∶2.(2)结论仍然成立,证明如下:如图1-4-15,连结AC.图1-4-15 HG是△ADC中位线,∴HG∥AC.∴△HGD∽△ACD.∴ACDHGDSS=(ADHD)2=41.∴S△HGD=41S△ACD.同理，S△BEF=41S△ABC.∴S△HGD+S△BEF=41(S△ACD+S△ABC)=41S四边形ABCD.同理，S△AEH...