初中数学合理引入快捷解题在解题时，若能恰到好处地引入一些有力的工具，会给解题带来很大的帮助。下面我们来探讨一下几种常用解题工具。一、引入函数函数是联系运动与静止，变化与定值的有力工具。解题时，若能恰到好处地引入它，会对解题工作带来很大的帮助。例1.（2002年全国初中数学竞赛题）设关于x的方程有两个不等的实数根且，那么a的取值范围是（）A.B.C.D.解：由于方程有两个不等的实数根，所以，故原方程可变形为记函数则这个抛物线开口向上，因，故当时，即解得，故选D。二、引入参数恰当合理引入参数，在已知和求解之间架起一座桥梁，使它们之间的联系得以明朗化，可使解题目标更加明确，但参数只起过渡作用，在解题过程中参数往往自行消失了。例2.（1991年天津初二数学竞赛题）已知四个互不相等的正数x，y，m，n中，x最小，n最大，且。试比较与的大小。解：设由已知得：，则因为，所以故例3.某人沿河逆流游泳而上，途中不慎将矿泉水壶失落，水壶沿河水飘流而下。10分钟后此人发现并立即返身回游，则此人返游多少分后可以追上矿泉水壶？分析：本题的已知条件较少，而涉及的关系量却比较多，有些人的游泳速度、水流速度和此人返游的时间，显然只设一个未知数是难以奏效的。我们可以将这些量一并设出几个未知数，使之参与列方程，便可使这道复杂应用题的等量关系进一步明朗化，只是在解题的具体过程中不必要求出人的游泳速度和水流速度。解：设此人返游x分后可以追上矿泉水壶，此人的游泳速度为m千米/分，水流速度为n千米/分，根据题意，得：整理，得：因为，所以即此人返游10分后可以追上矿泉水壶。三、引入辅助等式例4.（1999年福州市中考题）已知m，n是一元二次方程的两根，那么代数式的值为___________。解：设因为所以，得，即原式＝2011例5.设x，y为任意实数，且，求证：证明：设，它与已知等式组成方程组得：得：得：从而t≥1得：从而t≤25结合可得：所以四、引入方程方程是初中数学的重点内容，他像一根主干贯穿于初中数学的始终。若能合理引入方程，常可使问题方便得解。例6.已知不等式的解集为，试确定a的值。解：把看作方程的解，代入，得：即所以例3.（2002年天津中考题）如图1，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，若，则四边形的面积的最小值为（）图1A.21B.25C.26D.3分析：若设，则问题就转化成求的最小值。设，再求出的值，就可构造以为两实数根的一元二次方程，根据，可求出k的取值范围，进而求出k的最小值。解：设因为所以由<1>，<2>知是方程的两实数根所以即，又，所以因此即的最小值为25，故选B。评注：本题通过构造一元二次方程，巧妙地求出待定系数k的取值范围，充分体现出方程思想的魅力。五、引入图形（象）有时解题思路打不开是由于数形分离的原因造成的，此时若能分析题目的数形结合特征，从形中觅数，数中思形，往往能快捷地找出解题切入点。例8.（2004年上海市中考题）在函数的图象上有三点、，已知，则下列各式中，正确的是（）A.B.C.D.分析：单从字面上比较，很难得到答案。下面利用数形结合思想解题，根据题意画出函数图象，当时，双曲线位于第一、三象限内，如图2所示。根据，在横轴上标出各点，并过它们分别作横轴的垂线与双曲线相交，过交点再作纵轴的垂线，垂足处对应的y值即为。根据表示三个数的点的位置，就能很容易判断出它们的大小关系。图2由此，可知，故选C。例9.已知x，y，z均为正数，且，求证：。分析：题中的已知与勾股定理的结构相似，不妨引入Rt△。证明：如图3，作Rt△ABC，使，则作CD⊥AB于D图3由△ACD∽△CBD得：则，而所以，所以即证得
