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高中数学 电子题库 第三章1.2知能演练轻松闯关 北师大版选修2-1VIP免费

高中数学 电子题库 第三章1.2知能演练轻松闯关 北师大版选修2-1_第1页
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高中数学电子题库第三章1.2知能演练轻松闯关北师大版选修2-11.(2011·高考课标全国卷)椭圆+=1的离心率为()A.B.C.D.解析:选D.由+=1可得a2=16,b2=8,∴c2=a2-b2=8.∴e2==,解得e=或e=-(舍去).2.椭圆+=1与+=1(0,所以,椭圆①比②更扁.故填①.答案:①4.(2012·石河子检测)已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为,且椭圆G上一点到两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为________.解析:设椭圆的长半轴为a,由2a=12知a=6,又e==,故c=3,∴b2=a2-c2=36-27=9.∴椭圆的标准方程为+=1.答案:+=1[A级基础达标]1.(2012·九江质检)若椭圆的焦距长等于它的短轴长,则椭圆的离心率为()A.B.C.D.2解析:选B.由题意知2c=2b,∴c=b.又b2+c2=a2,∴a=c.∴e==.2.椭圆(m+1)x2+my2=1的长轴长是()A.B.C.D.-解析:选C.将椭圆化为标准方程为+=1,则必有m>0.∵m+1>m>0,∴<.∴a2=,a=,2a=.3.中心在原点,焦点在x轴上,若长轴长为18,且两个焦点恰将长轴三等分,则此椭圆方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1解析:选A.设方程为+=1(a>b>0),由题意得=,且a=9,∴c=3.∴b2=a2-c2=72.故方程为+=1.4.若椭圆长轴长与短轴长之比为2,它的一个焦点是(2,0),则椭圆的标准方程是________.解析:由题意设椭圆方程为+=1(a>b>0).∴(其中c=)∴b2=20,a2=80.答案:+=15.(2012·焦作检测)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是________.解析:由题意知2b=a+c,又b2=a2-c2,∴4(a2-c2)=a2+c2+2ac.∴3a2-2ac-5c2=0,∴5c2+2ac-3a2=0.同除以a2得5e2+2e-3=0,∴e=或e=-1(舍去).答案:6.已知椭圆E经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F1,F2在x轴上,离心率e=.求椭圆E的方程.解:设椭圆E的方程为+=1(a>b>0).由e=,即=,得a=2c,b2=a2-c2=3c2,1∴椭圆方程可化为+=1.将A(2,3)代入上式,得+=1,解得c2=4,∴椭圆E的方程为+=1.[B级能力提升]7.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则OP·FP的最大值为()A.2B.3C.6D.8解析:选C.由椭圆+=1可得点F(-1,0),点O(0,0),设P(x,y),-2≤x≤2,则OP·FP=x2+x+y2=x2+x+3=x2+x+3=(x+2)2+2,当且仅当x=2时,OP·FP取得最大值6.8.(2012·宝鸡调研)以F1(-1,0)、F2(1,0)为焦点且与直线x-y+3=0有公共点的椭圆中,离心率最大的椭圆方程是()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1解析:选C.设椭圆方程为+=1(a>1),由,得(2a2-1)x2+6a2x+(10a2-a4)=0,由Δ≥0,得a≥,∴e==≤,此时a=,故椭圆方程为+=1.9.如图,已知椭圆E的方程为+=1(a>b>0),A为椭圆的左顶点,B,C在椭圆上,若四边形OABC为平行四边形,且∠OAB=30°,则椭圆的离心率等于________.解析:由BC,OA平行且相等及椭圆的对称性,得出C点的横坐标为,又∠COx=30°,易知点C的坐标为,代入椭圆的方程得+=1,即a2=9b2,又b2=a2-c2,故c2=8b2,则椭圆的离心率e===.答案:10.已知F1为椭圆的左焦点,A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点,P为椭圆上的点,当PF1⊥F1A,PO∥AB(O为椭圆中心)时,求椭圆的离心率.解:设椭圆方程为+=1(a>b>0),F1(-c,0),c2=a2-b2,则P,即P.∵AB∥PO,∴kAB=kOP,即-=.∴b=c.又a==c,∴e==.11.(创新题)设P(x,y)是椭圆+=1上的点且P的纵坐标y≠0,已知点A(-5,0),B(5,0),试判断kPA·kPB是否为定值.若是定值,求出该定值;若不是定值,请说明理由.解:是定值.因为点P的纵坐标y≠0,所以x≠±5.所以kPA=,kPB=.所以kPA·kPB=·=.因为点P在椭圆+=1上,所以y2=16×=16×.把y2=16×代入kPA·kPB=,得kPA·kPB==-.所以kPA·kPB为定值,这个定值是-.2

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