考点集训(二十六)第26讲平面向量的概念及线性运算对应学生用书p229A组题1．在△ABC中，AB＝AC,D，E分别是AB，AC的中点，则()A.AB与AC共线B.DE与CB共线C.AD与AE相等D.AD与BD相等[解析]本题考查的是共线向量和相等向量的概念，根据概念，选B.[答案]B2．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是()A．矩形B．平行四边形C．梯形D．以上都不对[解析]由已知，得AD＝AB＋BC＋CD＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC，故AD∥BC.又因为AB与CD不平行，所以四边形ABCD是梯形．[答案]C3．如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则AF＝()A.AB＋ADB.AB＋ADC.AB＋ADD.AB＋AD[解析]根据题意得：AF＝(AC＋AE)，又AC＝AB＋AD，AE＝AB，所以AF＝＝AB＋AD.故选D.[答案]D4．(多选)已知A，B，C三点不共线，且点O满足OA＋OB＋OC＝0，则下列结论错误的是()A.AO＝－AB－ACB.OA＝AB＋BCC.AO＝AB＋ACD.OA＝－AB－BC[解析]∵OA＋OB＋OC＝0，∴O为△ABC的重心，∴OA＝－×(AB＋AC)＝－(AB＋AC)＝－(AB＋AB＋BC)＝－(2AB＋BC)＝－AB－BC.[答案]AB5．设a，b不共线，AB＝2a＋pb，BC＝a＋b，CD＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为()A．－2B．－1C．1D．2[解析]∵BC＝a＋b，CD＝a－2b，∴BD＝BC＋CD＝2a－b.又∵A，B，D三点共线，∴AB，BD共线．设AB＝λBD，∴2a＋pb＝λ(2a－b)，∵a，b不共线，∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1.[答案]B6．如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n的值为()A．1B．2C．3D．4[解析]∵O为BC的中点，∴AO＝(AB＋AC)＝(mAM＋nAN)＝AM＋AN，∵M，O，N三点共线，∴＋＝1，∴m＋n＝2.[答案]B7．已知点P，Q是△ABC所在平面上的两个定点，且满足PA＋PC＝0，2QA＋QB＋QC＝BC，若|PQ|＝λ|BC|，则正实数λ＝________．[解析]∵PA＋PC＝0，∴点P是线段AC的中点，∵2QA＋QB＋QC＝BC，∴2QA＝BC－QC－QB＝QC－QB－QC－QB＝2BQ，∴点Q是线段AB的中点，∵|PQ|＝λ|BC|，∴λ＝.[答案]8．如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，AE＝AD，AB＝a，AC＝b.(1)用a，b表示向量AD，AE，AF，BE，BF；(2)求证：B，E，F三点共线．[解析](1)延长AD到G，使AD＝AG.连接BG，CG，得到▱ABGC，所以AG＝a＋b，AD＝AG＝(a＋b)，AE＝AD＝(a＋b)，AF＝AC＝b，BE＝AE－AB＝(a＋b)－a＝(b－2a)，BF＝AF－AB＝b－a＝(b－2a)．(2)由(1)可知BE＝BF，又因为BE，BF有公共点B，所以B，E，F三点共线．B组题1．已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝()A．aB．bC．cD．0[解析]依题意，设a＋b＝mc，b＋c＝na，则有(a＋b)－(b＋c)＝mc－na，即a－c＝mc－na.又a与c不共线，于是有m＝－1，n＝－1，a＋b＝－c，a＋b＋c＝0.[答案]D2．在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且AD＝AB＋AC，则＝()A.B.C.D.[解析]如图，由已知得，点D在△ABC中与AB平行的中位线上，且在靠近AC边的三等分点处，从而有S△ABD＝S△ABC，S△ACD＝S△ABC，S△BCD＝S△ABC＝S△ABC，所以＝.[答案]B3．设G为△ABC的重心，且sinA·GA＋sinB·GB＋sinC·GC＝0，则角B的大小为______．[解析]∵G是△ABC的重心，∴GA＋GB＋GC＝0，GA＝－(GB＋GC)，将其代入sinA·GA＋sinB·GB＋sinC·GC＝0，得(sinB－sinA)GB＋(sinC－sinA)GC＝0.又GB，GC不共线，∴sinB－sinA＝0，sinC－sinA＝0，则sinB＝sinA＝sinC．根据正弦定理知，b＝a＝c，∴△ABC是等边三角形，则B＝60°.[答案]60°4．在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若AB＝λAM＋μAN，则λ＋μ＝________．[解析]法一：由AB＝λAM＋μAN，得AB＝λ·(AD＋AC)＋μ·(AC＋AB)，则AB＋AD＋AC＝0，得AB＋AD＋＝0，得AB＋AD＝0.又因为AB，AD不共线，所以由平面向量基本定理得解得所以λ＋μ＝.法二：连接MN并延长交AB的延长线于T，如图所示．由已知易得AB＝AT，∴AT＝AB＝λAM＋μAN，即AT＝λAM＋μAN，∵T，M，N三点共线，∴λ＋μ＝1.∴λ＋μ＝.[答案]5．已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点．(1)求GA＋GB＋GO；(2)若PQ过△ABO的重心G，且OA＝a，OB＝b，OP＝ma，OQ＝nb，求证：＋＝3.[解析](1)因为GA＋GB＝2GM，2GM＝－GO，所以GA＋GB＋GO＝－GO＋GO＝0.(2)显然OM＝(a＋b)．因为G是△ABO的重心，所以OG＝OM＝(a＋b)．由P，G，Q三点共线，得PG∥GQ，所以有且只有一个实数λ，使PG＝λGQ.而PG＝OG－OP＝(a＋b)－ma＝a＋b，GQ＝OQ－OG＝nb－(a＋b)＝－a＋b，所以a＋b＝λ.又因为a，b不共线，所以消去λ，整理得3mn＝m＋n，故＋＝3.
