课时作业19数系的扩充和复数的概念时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．设集合A＝{虚数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，则A，B，C间的关系为(B)A．ABCB．BACC．BCAD．ACB解析：根据复数的分类，复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示，故选B.2．以－＋2i的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的复数是(A)A．2－2iB．2＋2iC．－＋iD.＋i解析：－＋2i的虚部为2，i＋2i2＝－2＋i，其实部为－2，故所求复数为2－2i.3．设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：当a＝0时，若b＝0，则a＋bi是实数，不是纯虚数，因此“a＝0”不是“复数a＋bi是纯虚数”的充分条件；而若a＋bi是纯虚数，则实部为0，虚部不为0，可以得到a＝0，因此“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要条件．故“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要不充分条件．4．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为(D)A．－2B.C．－D．2解析：复数2－bi的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－(－b)，所以b＝2.5．若复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，则实数m的值为(D)A．－1B．2C．1D．－1或2解析：∵复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，∴m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.6．若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为(B)A．1B．2C．1或2D．－1解析：根据复数的分类知，需满足解得即a＝2.7．若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝(B)A．－2＋iB．2＋iC．1－2iD．1＋2i1解析：由i2＝－1得xi－i2＝1＋xi，则由题意得1＋xi＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋yi＝2＋i.8．给出以下命题：(1)在复数集中，任意两个数都不能比较大小；(2)若z＝m＋ni(m，n∈C)，则当且仅当m＝0，n≠0时，z为纯虚数；(3)若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3；(4)x＋yi＝1＋i⇔x＝y＝1.其中正确命题的个数是(A)A．0B．1C．2D．3解析：(1)当两个复数都是实数时，可以比较其大小，故(1)错误；(2)当m＝0，n＝i时，z＝0＋i2＝－1∈R，故(2)错误；(3)当z1＝1，z2＝0，z3＝i时满足条件，而结论不成立，故(3)错误；(4)只有当x，y∈R时命题才正确，故(4)错误．故选A.二、填空题9．已知复数z＝k2－3k＋(k2－5k＋6)i(k∈Z)，且z<0，则k＝2.解析：因为z<0，k∈Z，所以所以k＝2.10．已知(3x＋y)＋(2x－y)i＝(7x－5y)＋3i，则实数x＝，y＝.解析：∵x，y是实数，∴根据两个复数相等的充要条件，可得解得11．若关于x的方程x2－(6＋i)x＋5＋i＝0有一根为实数x0，则x0＝1.解析：因为x2－(6＋i)x＋5＋i＝0的根为x＝5＋i或1，所以x0＝1.三、解答题12．已知复数z＝(m2－3m＋2)＋(2m2－3m－2)i，当实数m取什么值时，复数z满足下列条件：(1)为零；(2)为纯虚数．解：(1)因为一个复数为0的充要条件是实部为0且虚部等于0，所以有解得所以m＝2.(2)因为一个复数为纯虚数的充要条件是实部等于0且虚部不等于0，所以有解得所以m＝1.13．已知关于x，y的方程组有实数解，求实数a，b的值．解：∵方程组有实数解，∴∴——能力提升类——14．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，z1>z2，则a的值为0.解析：由z1>z2，得即解得a＝0.15．已知复数z1＝－a2＋2a＋ai，z2＝2xy＋(x－y)i，其中a，x，y∈R，且z1＝z2，求3x＋y的取值范围．解：由复数相等的充要条件，得消去a，得x2＋y2－2x＋2y＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.方法1：令t＝3x＋y，则y＝－3x＋t.分析知圆心(1，－1)到直线3x＋y－t＝0的距离d＝≤，解得2－2≤t≤2＋2，即3x＋y的取值范围是[2－2，2＋2]．方法2：令得(α∈R)，所以3x＋y＝sinα＋3cosα＋2＝2sin(α＋φ)＋2(其中tanφ＝3)，于是3x＋y的取2值范围是[2－2，2＋2]．3
