课时分层作业(十)直线的倾斜角与斜率(建议用时：40分钟)一、选择题1．若直线经过O(0,0)，A(1，)两点，则直线OA的倾斜角为()A．B．C．D．B[由斜率与倾斜角的关系知(设直线OA的倾斜角为α，α∈[0，π)，则tanα＝＝，∴α＝．]2．已知直线l经过A(1,2)，B(3,5)，则直线l的一个方向向量为()A．(2,3)B．(3,2)C．(1,5)D．(－3,2)A[∵直线经过A(1,2)，B(3,5)，∴AB＝(3－1,5－2)＝(2,3)，∴直线l的一个方向向量为(2,3)．]3．已知经过两点(5，m)和(m,8)的直线的斜率等于1，则m的值是()A．5B．8C．D．7C[由斜率公式可得＝1，解得m＝．]4．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为()A．αB．180°－αC．180°－α或90°－αD．90°＋α或90°－αD[如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α．故选D．]5．若三点A(2,3)，B(3,2)，C共线，则实数m的值为()A．2B．C．D．C[根据斜率公式得kAB＝－1，kAC＝，∵A、B、C三点共线，∴kAB＝kAC，1∴＝－1，∴m＝．]二、填空题6．a，b，c是两两不等的实数，则经过P(b，b＋c)，C(a，c＋a)两点直线的倾斜角为．45°[由题意知，b≠a，所以k＝＝1，故倾斜角为45°．]7．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为．0[如图，易知kAB＝，kAC＝－，则kAB＋kAC＝0．]8．已知直线l上的两个点M(1,2)，N(5,4)，则直线l的一个法向量为．(2，－4)(答案不唯一)[∵直线经过M(1,2)，N(5,4)，∴MN＝(4,2)，∴MN是直线l一个方向向量，又直线的法向量与方向向量互相垂直，所以直线l的一个法向量为(2，－4)．]三、解答题9．已知点A(1,2)，在坐标轴上求一点P使直线PA的倾斜角为60°．[解](1)当点P在x轴上时，设点P(a,0)，∵A(1,2)，∴kPA＝＝．又∵直线PA的倾斜角为60°，∴tan60°＝，解得a＝1－．∴点P的坐标为．(2)当点P在y轴上时，设点P(0，b)．同理可得b＝2－，∴点P的坐标为(0,2－)．10．已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．[解]如图所示，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1．2(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1．(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°．11．(多选题)直线l过原点(0,0)且不过第三象限，那么l的倾斜角α可能是()A．0°B．120°C．90°D．60°ABC[当直线与x轴重合时α＝0°，与y轴重合时α＝90°，又直线l不经过第三象限，∴斜率k＜0，由斜率与倾斜角的关系知90°＜α＜180°，故B也正确．]12．已知直线l1的斜率为1，l2的斜率为a，其中a为实数，当两直线的夹角在(0°，15°)内变动时，则a的取值范围是()A．(0,1)B．C．∪(1，)D．(1，)C[∵l1的倾斜角为45°，∴l2的倾斜角的取值范围为(30°，45°)∪(45°，60°)，∴a的取值范围为∪(1，)，故选C．]13．(一题两空)若直线AB与y轴的夹角为60°，则直线AB的倾斜角为，斜率为．30°或150°或－[如图所示直线AB与y轴的关系，若直线为l1，则直线的倾斜角为α1，α1＝90°＋60°＝150°，tanα1＝k1＝－，若直线为l2，则直线的倾斜角为α2，α2＝90°－60°＝30°，k2＝tanα2＝tan30°＝．]14．已知过点(－，1)和点(0，b)的直线的倾斜角为α，α满足30°≤α≤60°，则b的取值范围为．[2,4][因为30°≤α≤60°，∴≤tanα≤，3∴≤k≤．又k＝，所以≤≤，解得2≤b≤4．]15．点M(x，y)在函数y＝－2x＋8的图像上，当x∈[2,5]时，求的取值范围．[解]＝的几何意义是过M(x，y)，N(－1，－1)两点的直线的斜率．∵点M在函数y＝－2x＋8的图像上，且x∈[2,5]，∴设该线段为AB且A(2,4)，B(5，－2)，设直线NA，NB的斜率分别为kNA，kNB．∵kNA＝，kNB＝－，∴－≤≤．∴的取值范围是．4
