第2讲不等式选讲1．(2019·安徽省考试试题)已知f(x)＝|x－2|.(1)解不等式f(x)＋1>f(2x)；(2)若f(m)≤1，f(2n)≤2，求|m－2n－1|的最大值，并求此时实数m，n的取值．解：(1)原不等式等价于|x－2|＋1>2|x－1|，所以或或所以－10，y>0，nx＋y＋m＝0，求证：x＋y≥16xy.解：(1)由|x|＋|x－3|0，y>0，所以(9x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号，所以＋≥16，即x＋y≥16xy.3．(2019·昆明市诊断测试)已知函数f(x)＝|2x＋1|－|x－1|.(1)求不等式f(x)>1的解集；(2)若不等式f(x)1，等价于或或解得x<－3或－x2－x＋|2x＋1|－|x－1|.令g(x)＝－x2－x＋|2x＋1|－|x－1|，则由题意知m>g(x)max.g(x)＝作出其图象如图所示，由图象知g(x)max＝1.所以m>1，即m的取值范围为(1，＋∞)．4．(2019·高考全国卷Ⅲ)设x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1.(1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值；(2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥成立，证明：a≤－3或a≥－1.解：(1)因为[(x－1)＋(y＋1)＋(z＋1)]2＝(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＋2[(x－1)(y＋1)＋(y＋1)(z＋1)＋(z＋1)(x－1)]≤3[(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2]，故由已知得(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2≥，当且仅当x＝，y＝－，z＝－时等号成立．所以(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值为.(2)证明：因为[(x－2)＋(y－1)＋(z－a)]2＝(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2＋2[(x－2)(y－1)＋(y－1)(z－a)＋(z－a)(x－2)]≤3[(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2]，故由已知得(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥，当且仅当x＝，y＝，z＝时等号成立．因此(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2的最小值为.由题设知≥，解得a≤－3或a≥－1.5．设函数f(x)＝a(x－1)．(1)当a＝1时，解不等式|f(x)|＋|f(－x)|≥3x.(2)设|a|≤1，当|x|≤1时，求证：|f(x2)＋x|≤.解：(1)当a＝1时，不等式|f(x)|＋|f(－x)|≥3x，即|x－1|＋|x＋1|≥3x，当x≤－1时，得1－x－x－1≥3x⇒x≤0，所以x≤－1，当－14；(2)若∀x1∈R，∃x2∈R，使得f(x2)＝g(x1)，求实数a的取值范围．解：(1)f(x)>4，即|2x－1|－|x＋2|>4，当x<－2时，－(2x－1)＋(x＋2)>4，得x<－2；当－2≤x≤时，－(2x－1)－(x＋2)>4，得－2≤x<－；当x>时，2x－1－(x＋2)>4，得x>7.综上，不等式f(x)>4的解集为.(2)因为∀x1∈R，∃x2∈R，使得f(x2)＝g(x1)，所以g(x)的值域是f(x)的值域的子集，f(x)＝|2x－1|－|x＋2|＝所以f(x)的值域为，g(x)＝|x－a|－|x＋a＋1|的值域为[－|2a＋1|，|2a＋1|]，所以－|2a＋1|≥－，即|2a＋1|≤，则－≤2a＋1≤，－≤a≤，即实数a的取值范围为.
