课时作业27数系的扩充与复数的引入一、选择题1.(2016·唐山一中模拟)若i为虚数单位,图中复平面内点Z表示复数z,则表示复数的点是()A.EB.FC.GD.H解析:依题意得z=3+i,====2-i,该复数对应的点的坐标是(2,-1),选D.答案:D2.设i是虚数单位,则复数的虚部是()A.B.C.-D.-解析:==-+i,则其虚部为.答案:B3.已知x,y∈R,i为虚数单位,且(x-2)i-y=-1+i,则(1+i)x+y的值为()A.4B.-4C.4+4iD.2i解析:由x-2=1,y=1,得(1+i)4=(2i)2=-4.答案:B4.定义:若z2=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位),则称复数z是复数a+bi的平方根.根据定义,则复数-3+4i的平方根是()A.1-2i或-1+2iB.1+2i或-1-2iC.-7-24iD.7+24i解析:设(x+yi)2=-3+4i,则解得或答案:B5.在复平面内,复数z=cos3+isin3(i是虚数单位)对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:因为<3<π,所以cos3<0,sin3>0,故点(cos3,sin3)在第二象限,即复数z=cos3+isin3对应的点位于第二象限.答案:B6.(2016·广州模拟)已知复数a+bi=i(1-i)(其中a,b∈R,i是虚数单位),则a+b的值为()A.-2B.-1C.0D.2解析:∵a+bi=i(1-i)=1+i,∴a=1,b=1,则a+b=2.答案:D7.已知复数z=,即“θ=”是“z是纯虚数”的()A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件解析:当θ=时,z是纯虚数;反之不成立.故“θ=”是“z是纯虚数”的充分不必要条件.答案:C8.若(x+i)2是纯虚数(其中i为虚数单位),则x=()A.±1B.2C.-1D.1解析:(x+i)2=x2-1+2xi,因为(x+i)2是纯虚数,所以x=±1.答案:A9.(2016·郑州模拟)设i是虚数单位,若复数为实数,则实数a为()A.2B.-2C.-D.解析:=为实数,即a=2.答案:A10.(2016·皖北协作区联考)已知集合A={1,2z2,zi},B={2,4},i为虚数单位,若A∩B={2},则纯虚数z为()A.iB.-iC.2iD.-2i解析:∵A∩B={2},且z为纯虚数,∴zi=2,∴z=-2i,故选D.答案:D11.(2016·湖北黄冈模拟)复数z1,z2在复平面内分别对应点A,B,z1=3+4i,将点A绕原点O逆时针旋转90°得到点B,则=()A.3-4iB.-4-3iC.-4+3iD.-3-4i解析:由题意知A(3,4),B(-4,3),即z2=-4+3i,=-4-3i.答案:B12.设0<θ<,a∈R,(1-i)=cosθ+i,则θ的值为()A.B.C.D.解析:由条件,得a++i=cosθ+i,∴解得cosθ=.又0<θ<,∴θ=.故选D.答案:D二、填空题13.(2016·济南模拟)若复数z满足z-1=cosθ+isinθ,则|z|的最大值为________.解析:∵z-1=cosθ+isinθ,∴z=(1+cosθ)+isinθ,∴|z|==≤=2.答案:214.(2016·青岛一模)已知复数z满足(2-i)z=1+i,i为虚数单位,则复数z=________.解析:∵(2-i)z=1+i,∴z====+i.答案:+i15.若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根,则b=________,c=________.解析:∵实系数一元二次方程x2+bx+c=0的一个虚根为1+i.∴其共轭复数1-i也是方程的根,由根与系数的关系知,∴b=-2,c=3.答案:-2316.设f(n)=n+n(n∈N*),则集合{f(n)}中元素的个数为________.解析:f(n)=n+n=in+(-i)n,f(1)=0,f(2)=-2,f(3)=0,f(4)=2,f(5)=0,….∴集合中共有3个元素.答案:3