课时作业56直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，内公切线条数为2.答案：B2．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且|AB|＝，则OA·OB的值是()A．－B.C．－D.解析：在△OAB中，由|OA|＝|OB|＝1，|AB|＝，可得∠AOB＝120°，所以OA·OB＝1×1×cos120°＝－.答案：A3．(2014·安徽卷)过点P(－，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是()A．(0，]B．(0，]C．[0，]D．[0，]解析：设斜率为k，则直线l的方程为y＋1＝k(x＋)，即kx－y＋k－1＝0，由题可得≤1，解得0≤k≤.设倾斜角为α，则0≤tanα≤，得0≤α≤.答案：D4．若直线x－y＋2＝0与圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4相交于A，B两点，则CA·CB的值为()A．－1B．0C．1D．6解析：由题意可知，圆心C(3,3)到直线AB：x－y＋2＝0的距离为d＝＝.又因为sin∠BAC＝＝，所以∠BAC＝45°，又因为CA＝CB，所以∠BCA＝90°.故CA·CB＝0.答案：B5．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a，b满足的关系是()A．a2＋2a＋2b－3＝0B．a2＋b2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2a＋2b＋5＝0D．a2－2a－2b＋5＝0解析：两圆的公共弦必过(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心，两圆相减得相交弦的方程为－2(a＋1)x－2(b＋1)y＋a2＋1＝0，将圆心坐标(－1，－1)代入可得a2＋2a＋2b＋5＝0.答案：C6．已知直线x＋y－k＝0(k>0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有|OA＋OB|≥|AB|，那么k的取值范围是()A．(，＋∞)B．[，＋∞)C．[，2)D．[，2)解析：当|OA＋OB|＝|AB|时，O，A，B三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA＝OB，∠AOB＝120°，从而圆心O到直线x＋y－k＝0(k>0)的距离为1，此时k＝；当k>时|OA＋OB|>|AB|，又直线与圆x2＋y2＝4存在两交点，故k<2，综上，k的取值范围为[，2)，故选C.答案：C二、填空题7．(2014·重庆卷)已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为________．解析：圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝9，则圆心C(－1,2)，半径r＝3.由题可得AB＝3，则圆心到直线的距离d＝，所以＝，解得a＝0或6.答案：0或68．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2，则a＝________.解析：方程x2＋y2＋2ay－6＝0与x2＋y2＝4相减得2ay＝2，则y＝.由已知条件＝，即a＝1.答案：19．两圆相交于两点(1,3)和(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，且m，c均为实数，则m＋c＝________.解析：根据两圆相交的性质可知，两点(1,3)和(m，－1)的中点在直线x－y＋c＝0上，并且过两点的直线与x－y＋c＝0垂直，故有∴m＝5，c＝－2，∴m＋c＝3.答案：3三、解答题10．已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．解：(1)如图所示，|AB|＝4，将圆C方程化为标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝16，∴圆C的圆心坐标为(－2,6)，半径r＝4，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，∴|AD|＝2，|AC|＝4.C点坐标为(－2,6)．在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.由点C到直线AB的距离公式：＝2，得k＝.故直线l的方程为3x－4y＋20＝0.又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0.∴所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，即CD⊥PD，即CD·PD＝0，∴(x＋2，y－6)·(x，y－5)＝0，化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.11．在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：2x－y－4＝0，设圆C的半径为1，圆心在直线l上．(1)若圆心C也在直线2x－3y＝0上，过点A作圆C的切线，求切线的方程．(2)若圆C与圆D：x2＋y2＋2y－3＝0有公共点，求圆心C的横坐标a的取值范围．解：(1)由得圆心C(3,2)，又因为圆的半径为1，所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝1，设过点A的切线方程为y＝kx＋3，圆心到直线的距离为＝1，解得k＝0或k＝－.故所求切线方程为y＝3...
