板块命题点专练(十)推理与证明(研近年高考真题——找知识联系，找命题规律，找自身差距)命题点一合情推理与演绎推理命题指数：☆☆☆难度：中、低题型：选择题、填空题1．(2014·陕西高考)观察分析下表中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是____________．2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市．由此可判断乙去过的城市为________．3．(2013·湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝n2＋n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)＝n2＋n，正方形数N(n,4)＝n2，五边形数N(n,5)＝n2－n，六边形数N(n,6)＝2n2－n，……可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝________.命题点二直接证明与间接证明命题指数：☆☆☆☆☆命题指数：☆☆☆☆☆难度：高、中题型：解答题1．(2014·江西高考)已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：对任意的n>1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．2．(2014·北京高考)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥EABC的体积．命题点三数学归纳法命题指数：☆☆难度：高题型：解答题(2014·江苏高考)已知函数f0(x)＝(x>0)，设fn(x)为fn－1(x)的导数，n∈N*.(1)求2f1＋f2的值；(2)证明：对任意的n∈N*，等式nfn－1＋fn＝都成立．答案命题点一1．解析：三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F＋V－E＝2.答案：F＋V－E＝22．解析：由甲、丙的回答易知甲去过A城市和C城市，乙去过A城市或C城市，结合乙的回答可得乙去过A城市．答案：A3．解析：由N(n,3)＝n2＋n，N(n,4)＝n2＋n，N(n,5)＝＋n，N(n,6)＝n2＋n，推测N(n，k)＝n2－n，k≥3.从而N(n,24)＝11n2－10n，N(10,24)＝1000.答案：1000命题点二1．解：(1)由Sn＝，得a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－2，当n＝1时也适合．所以数列{an}的通项公式为：an＝3n－2.(2)证明：要使得a1，an，am成等比数列，只需要a＝a1·am，即(3n－2)2＝1·(3m－2)，即m＝3n2－4n＋2，而此时m∈N*，且m>n.所以对任意的n>1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．2．解：(1)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥底面ABC.所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC，BB1∩BC＝B，所以AB⊥平面B1BCC1.又AB⊂平面ABE.所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明：取AB中点G，连结EG，FG.因为E，F分别是A1C1，BC的中点，所以FG∥AC，且FG＝AC.因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1.所以四边形FGEC1为平行四边形．所以C1F∥EG.又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，所以C1F∥平面ABE.(3)因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，所以AB＝＝.所以三棱锥EABC的体积V＝S△ABC·AA1＝×××1×2＝.命题点三解：(1)由已知，得f1(x)＝f′0(x)＝′＝－，于是f2(x)＝f′1(x)＝′－′＝－－＋，所以f1＝－，f2＝－＋.故2f1＋f2＝－1.(2)证明：由已知，得xf0(x)＝sinx，等式两边分别对x求导，得f0(x)＋xf′0(x)＝cosx，即f0(x)＋xf1(x)＝cosx＝sin，类似可得2f1(x)＋xf2(x)＝－sinx＝sin(x＋π)，3f2(x)＋xf3(x)＝－cosx＝sin，4f3(x)＋xf4(x)＝sinx＝sin(x＋2π)．下面用数学归纳法证明等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝sin对所有的n∈N*都成立．①当n＝1时，由上可知等式成立．②假设当n＝k时等式成立，即kfk－1(x)＋xfk(x)＝sin.因为[kfk－1(x)＋xfk(x)]′＝kf′k－1(x)＋fk(x)＋xf′k(x)＝(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)，′＝cos·′＝sin，所以(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)＝sin.因此当n＝k＋1时，等式也成立．综合①②可知等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝sin对所有的n∈N*都成立．令x＝，可得nfn－1＋fn＝sin(n∈N*)．所以＝(n∈N*)．
