28分专项练(一)22、23题1．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F与椭圆＋＝1的右焦点重合，抛物线C的动弦AB过点F，过点F且垂直于弦AB的直线交抛物线的准线于点M.(1)求抛物线的标准方程；(2)求的最小值．2．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，圆O：x2＋y2＝2与x轴正半轴交于点A，圆O在点A处的切线被椭圆C截得的弦长为2.(1)求椭圆C的方程；(2)设圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于M，N两点，试判断|PM|·|PN|是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．3．已知函数f(x)＝ex－ln(x＋1)(e为自然对数的底数)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数g(x)＝f(x)－ax，a∈R，试求函数g(x)的极小值的最大值．4．已知函数f(x)＝e2x－(a＋1)ex＋ax.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．28分专项练28分专项练(一)22、23题1．解：(1)由椭圆方程得椭圆的右焦点为(1，0)．所以抛物线的焦点为F(1，0)，p＝2，故抛物线的标准方程为y2＝4x.(2)①当动弦AB所在直线的斜率不存在时，|AB|＝2p＝4，|MF|＝2，＝2.②当动弦AB所在的直线斜率存在时，易知直线的斜率不为0.设AB所在直线方程为y＝k(x－1)，且A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0.则x1＋x2＝，x1x2＝1，Δ＝16(k2＋1)>0.|AB|＝|x1－x2|＝＝.FM所在直线的方程为y＝－(x－1)，由得点M.所以|MF|＝＝2，所以＝＝2>2.综上所述，的最小值为2.2．解：(1)设椭圆C的半焦距为c，由椭圆C的离心率为知，b＝c，a＝b，则椭圆C的方程为＋＝1.易求得点A(，0)，则点(，)在椭圆C上，所以＋＝1，解得b2＝3，所以a2＝6，椭圆C的方程为＋＝1.(2)|PM|·|PN|为定值2.当过点P且与圆O相切的切线斜率不存在时，不妨设切线的方程为x＝，则P(，0)．由(1)知M(，)，N(，－)，所以|PM|·|PN|＝2.此时OM＝(，)，ON＝(，－)，OM·ON＝0，即OM⊥ON，当过点P且与圆O相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为y＝kx＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则＝，即m2＝2(k2＋1)．由消去y得x2＋2(kx＋m)2＝6，即(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0，得Δ>0，x1＋x2＝－，x1x2＝.因为OM＝(x1，y1)，ON＝(x2，y2)，所以OM·ON＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝(1＋k2)·＋km·＋m2＝＝＝＝0，所以OM⊥ON.综上所述，圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于点M，N，都有OM⊥ON.又在Rt△OMN中，OP⊥MN，由△OMP与△NOP相似可得|OP|2＝|PM|·|PN|＝2为定值．3．解：(1)函数f(x)＝ex－ln(x＋1)的定义域是(－1，＋∞)，f′(x)＝ex－.令h(x)＝ex－，则h′(x)＝ex＋>0，所以函数h(x)在(－1，＋∞)上单调递增，且h(0)＝f′(0)＝0.所以当x∈(－1，0)时，h(x)＝f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(0，＋∞)时h(x)＝f′(x)>0，f(x)单调递增．所以函数f(x)的单调递减区间是(－1，0)，单调递增区间是(0，＋∞)．(2)由g(x)＝f(x)－ax＝ex－ln(x＋1)－ax，得g′(x)＝f′(x)－a.由(1)知，g′(x)＝f′(x)－a在(－1，＋∞)上单调递增．当x→－1时，g′(x)→－∞；当x→＋∞时，g′(x)→＋∞，则g′(x)＝0有唯一解x0.当x∈(－1，x0)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(x0，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以函数g(x)在x＝x0处取得极小值，g(x0)＝ex0－ln(x0＋1)－ax0，且x0满足ex0－＝a.所以g(x0)＝(1－x0)ex0－ln(x0＋1)＋1－.令φ(x)＝(1－x)ex－ln(x＋1)＋1－，则φ′(x)＝－x.当x∈(－1，0)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增；当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)单调递减，可得φ(x)max＝φ(0)＝1.所以函数g(x)的极小值的最大值为1.4．解：(1)f′(x)＝e2x－(a＋1)ex＋a＝(ex－1)(ex－a)．①若a≤0，当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．②若a>0，令f′(x)＝0，则x1＝0，x2＝lna，a．若a＝1，则x1＝x2，f′(x)≥0恒成立，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数；b．若0
x2.当x∈(－∞，lna)时，f′(x)>0，f(x)为增函数；当x∈(lna，0)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数；c．若a>1，则x10，f(x)为增函数；当x∈(0，lna)时，f...
