高二数学直线与圆的位置关系（二）（文）人教实验版（A）知识精讲VIP专享VIP免费

高二数学直线与圆的位置关系（二）（文）人教实验版（A）【本讲教育信息】一.教学内容：直线与圆的位置关系（二）二.重点、难点：1.相交弦定理2.割线定理3.切割线定理4.切线长定理【典型例题】[例1]如图，⊙O是直角三角形的直角边AB为直径的圆ED与⊙O切于D，求证：CDEOBC22。证明：连结OD、BD EB、ED都是⊙O的切线∴EB=ED又EO=EO∠EBO=∠EDO=90°∴△EBO≌△EDO∴∠1=∠2 ∠A=21∠DOB=∠1，AO=OB∴EO//21CA OB=OD，∠1=∠2∴BD⊥OE∴BD⊥CA又AB⊥BC∴△ABC∽△BDC∴BCACDCBC即CDEODCACBC22[例2]如图，AB是半圆的直径，E是AB上任意一点，过E作半圆的切线CD，分别过A，B作半圆的切线交CD于C、D两点，连结AD，BC交于P点，连结EP且延长交AB于F点，求证：EP=FP。证明： CA、CE是⊙O的切线∴CA=CE同理DE=DB CA是切线且AB为直径∴CA⊥AB同理DB⊥AB∴CA//DB∴△CAP∽△BDP∴PDAPDBAC∴PDAPEDCE用心爱心专心∴EP//CA∴CAEPDCDE同理CAPFBCPB∴CA//EF//DB∴BCBPDCDE∴CAPFCAEP∴EP=FP[例3]如图所示，已知：P为正△ABC外接圆上一点，连结PB，PC和PA，D是PA和BC的交点。求证：PDPCPB111。证明：在△PBD和△CAD中， ∠PBD=∠CAD∠PDB=∠CDA∴△PBD∽△CAD∴ACDCPBPD同理可证ABBDPCPD∴ABBDACDCPCPDPBPD∴AB=AC=BC，BC=BD+DC∴ACBDDCPCPDPBPD1ACBC∴PCPB11PD1[例4]如图，已知O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，且∠I+∠BOC=180°，求∠BAC。解： ∠BOC=2∠A∠BIC=90°+2A∴90°+2A+2∠A=180°9025A5∠A=180°∠A=36°[例5]如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足为D，求证：AC平分∠BAD。用心爱心专心证明：连结BC AB是⊙O的直径∴∠ACB=90°∴∠B+∠CAB=90° AD⊥CE∴∠ADC=90°∴∠ACD+∠DAC=90° AC是弦，且CE和⊙O切于点C∴∠ACD=∠B∴∠DAC=∠CAB∴AC平分∠BAD[例6]已知：如图，⊙O和⊙O′都经过A、B两点，AC是⊙O′的切线交⊙O于点C，AD是⊙O的切线交⊙O′于点D，求证：BDBCAB2。证明： ∠C=∠1∠2=∠D∴△ACB∽△DAB∴ABBCBDAB∴BDBCAB2[例7]已知：如图，⊙O的割线PAB交⊙O于点A和B，PA=6cm，AB=731cm，PO=12cm，求⊙O的半径。解：设⊙O的半径为r，PO和它的延长线交⊙O于C、D根据切割线定理的推论，有PDPCPBPA PB=PA+AB=3113PC=PO－CO=r12PD=PO+DO=12+r用心爱心专心∴136)12)(12(rr31)(8cmr∴⊙O的半径为8cm[例8]已知：如图所示，在△ABC中，∠A=15°，∠ACB=90°，BC=1，O为AC上一点，以O为圆心，OC为半径的半圆交AB于E、F两点，且E为AB的中点，D为半圆与AC的另一交点。（1）求CF的长；（2）求BF的长；（3）求证：AD是方程0)323(22xx的一个根。解：（1）连结CE E是ABCRt的斜边AB的中点∴CE=AE∴∠ECA=∠A=15°∴∠FEC=30°由题意可知，BC垂直于⊙O的半径OC∴BC与⊙O相切于点C∴∠BCF=∠FEC=30° ∠B=90°－∠A=75°∴∠BFC=180°－（∠B+∠BCF）=180°－（75°+30°）=75°∴∠B=∠BFC∴CF=BC=1（2）连结OE、OF OC=OF∠COF=2∠FEC=60°∴△COF是正△∴OC=OF=CF=1 ∠ECF=90°－（∠BCF+∠ECA）=90°－（30°+15°）=45°∴∠EOF=2∠ECF=2×45°=90°∴△EOF是等腰直角三角形∴EF=22OF由切割线定理得)(2EFBFBFBEBFBC∴1)2(BFBF即0122BFBF解得226BF，BF226（舍）（3） 2262226EFBFBE∴226BEAE AF=AE+EF=22262236∴3232236226AFAE用心爱心专心根据切割线定理AFAEACAD即323)2(ADAD∴0)323(22ADAD∴AD是方程0)323(22xx的一个根[例9]已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12cm和16cm两段第二条弦的长为32cm，求第二条弦被交点分成的两段的长。解：设第二条弦被交点分成的一段长为xcm，则另一段长为cmx)32(根据相交弦定理有1612)32(xx0192322xx81x242x另一段24321x或8322x另一条弦被交点分成的两段长分别为8cm，24cm。[例10]如图所示，⊙O分别切AB、AC于E、F，且交BC于M，N两点，∠A=90°，∠B=∠C...