（新课标）高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 高频考点分析之最值探讨 配方法求最值 新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP免费

（新课标）高考数学一轮复习名校尖子生培优大专题高频考点分析之最值探讨配方法求最值新人教A版1～2讲，我们对客观性试题解法进行了探讨，3～8讲，对数学思想方法进行了探讨，9～12讲对数学解题方法进行了探讨，从第13讲开始我们对高频考点进行探讨。最值问题是中学数学的重要内容，它分布在中学数学的各个部分和知识水平层面。以最值为载体，可以考查中学数学的许多知识点，考查分类讨论、数形结合、转化与化归等诸多数学思想和方法，还可以考查学生的思维能力、实践和创新能力。纵观近年高考，从题型分布来看，大多数一道填空题或选择题，一道解答题；从分值来看，约占总分的10%左右，它在高考中占有比较重要的地位。分析考题的类型，高考中最值问题的呈现方式一般有以下几种：1．函数（含三角函数）的最值；2．学科内的其它最值，如几何中的最值问题、数列的最大项等等；3．字母（函数）的取值范围；4．不等式恒成立问题、存在性问题，常常转化为求函数的最值，例如：对恒成立的最小值≥0成立，对恒成立的最大值≤0成立，等等；5．实际应用问题，如最优化问题，可以通过建模可化为最值问题，等等。结合中学数学的知识，高考中最值问题的求解方式一般有以下几种：1．应用配方法求最值；2．应用不等式（含基本不等式）求最值；3．应用导数求最值；4．应用单调性等性质求最值；5．应用函数的值域求最值；6．应用三角函数求最值；7．应用几何、向量知识求最值；8．应用线性规划求最值。我们从以上八方面探讨最值问题的求解。一、应用配方法求最值：典型例题：例1.若正数x，y满足x+3y=5xy，则的最小值是【】A.B.C.5D.6【答案】C。【考点】基本不等式或配方法的应用。【解析】 x+3y=5xy，∴，。∴。（或由基本不等式得）∴5，即的最小值是5。故选C。例2.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处，如图.现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为7.（1）当时，写出失事船所在位置P的纵坐标.若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）【答案】解：（1）时，P的横坐标，代入抛物线方程得P的纵坐标。 A（0，12），∴。∴救援船速度的大小为海里/时。由tan∠OAP=，得，∴救援船速度的方向为北偏东弧度。（2）设救援船的时速为海里，经过小时追上失事船，此时位置为。由，整理得。 当即=1时最小，即。∴救援船的时速至少是25海里才能追上失事船。【考点】曲线与坐标。【解析】（1）求出A点和P点坐标即可求出。（2）求出时速关于时间的函数关系式求出极值。例3.如图，椭圆M：的离心率为，直线和所围成的矩形ABCD的面积为8.(Ⅰ)求椭圆M的标准方程；(Ⅱ)设直线与椭圆M有两个不同的交点P，Q，与矩形ABCD有两个不同的交点S，T.求的最大值及取得最大值时m的值.【答案】解：(Ⅰ) 椭圆M：的离心率为∴，即……①。 矩形ABCD面积为8，∴，即……②由①②解得：。∴椭圆M的标准方程是。(II)由得。设，则。由得。∴。当过A点时，，当过C点时，。①当时，有，∴。设，则。∴当，即时，取得最大值。②当时，由对称性，可知，当时，取得最大值。③当时，，，∴当时，取得最大值。综上可知，当时，取得最大值。【考点】椭圆的性质，矩形的性质，函数的极值。【解析】（Ⅰ）由已知条件，根据椭圆M的离心率为，直线和所围成的矩形ABCD的面积为8，列方程组组求解。（Ⅱ）应用韦达定理、勾股定理，用表示出，分，，三种情况分别求解。例4.如图，动圆,,与椭圆：相交于A，B，C，D四点，点分别为的左，右顶点。(Ⅰ)当为何值时，矩形的面积取得最大值？并求出其最大面积；(Ⅱ)求直线与直线交点M的轨迹方程。【答案】解：（I）设，则矩形的面积。由得，∴。∴当时，，最大为，。 ，∴当时，矩形的面积取得最大值，最大面积为6。(Ⅱ)设， ，∴直线A1A的方程为，直线A2B的方程为。由①×②可得：。 在椭圆上，∴。∴。代...