课时跟踪检测（四十五）突破立体几何中的3大经典问题1.如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别是PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①BE与CF异面；②BE与AF异面；③EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：选B画出该几何体，如图．因为E，F分别是PA，PD的中点，所以EF∥AD，所以EF∥BC，BE与CF是共面直线，故①不正确；BE与AF满足异面直线的定义，故②正确；由E，F分别是PA，PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，因为EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC，故③正确；因为BE与PA的关系不能确定，所以不能判定平面BCE⊥平面PAD，故④不正确．故选B.2．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有()A．AG⊥平面EFHB.AH⊥平面EFHC．HF⊥平面AEFD．HG⊥平面AEF解析：选B根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，且HE∩HF＝H，∴AH⊥平面EFH，B正确； 过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确； AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，∴EF⊥平面HAG，又EF⊂平面AEF，∴平面HAG⊥平面AEF，过点H作直线垂直于平面AEF，垂线一定在平面HAG内，∴C不正确；由条件证不出HG⊥平面AEF，∴D不正确．故选B.3.如图所示，在正三棱锥SABC中，∠BSC＝40°，SB＝2，则一动点从点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为()A．2B.3C．2D．3解析：选C沿SB，AB，BC将棱锥侧面剪开并展开成一个平面图形SBACB1，如图所示，则动点的最短路线为线段BB1.在△SBB1中，SB＝SB1＝2，∠BSB1＝120°，所以BB1＝2.故选C.4.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，点P，Q分别在底面ABCD、棱AA1上运动，且PQ＝4，点M为线段PQ的中点，则线段C1M的长度的最小值为()A．2B.4－2C．6D．4解析：选B连接AP，AC1，AM.由正方体的结构特征可得，QA⊥平面ABCD，所以QA⊥AP.因为PQ＝4，点M为线段PQ的中点，所以AM＝PQ＝2，故点M在以A为球心，半径R＝2的球面上，易知AC1＝4，所以C1M的最小值为AC1－R＝4－2.5．已知圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形，则该圆锥体积的最大值为________．解析：由题意得圆锥的母线长为3，设圆锥的底面半径为r，高为h，则h＝，所以圆锥的体积V＝πr2h＝πr2＝π.设f(r)＝9r4－r6(r＞0)，则f′(r)＝36r3－6r5，令f′(r)＝36r3－6r5＝6r3(6－r2)＝0，得r＝，所以当0＜r＜时，f′(r)＞0，f(r)单调递增；当r＞时，f′(r)＜0，f(r)单调递减，所以f(r)max＝f()＝108，所以Vmax＝π×＝2π.答案：2π6．如图所示，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是__________(填序号)．①A′C⊥BD；②∠BA′C＝90°；③四面体A′BCD的体积为.解析： BD⊥CD，平面A′BD⊥平面BCD，平面A′BD∩平面BCD＝BD，CD⊂平面BCD，∴CD⊥平面A′BD，又A′D⊂平面A′BD，∴CD⊥A′D. AB＝AD＝CD＝1，BD＝，∴A′C＝，BC＝，∴A′B2＋A′C2＝BC2，∴A′B⊥A′C，即∠BA′C＝90°，故②正确；四面体A′BCD的体积V＝××12×1＝，故③正确．答案：②③7．已知A，B，C是球O的球面上三点，且AB＝AC＝3，BC＝3，D为该球面上的动点，球心O到平面ABC的距离为球半径的一半，则三棱锥DABC体积的最大值为________．解析：如图，在△ABC中， AB＝AC＝3，BC＝3，∴由余弦定理可得cosA＝＝－，∴sinA＝.设△ABC外接圆O′的半径为r，则＝2r，得r＝3.设球的半径为R，连接OO′，BO′，OB，则R2＝2＋32，解得R＝2.由图可知，当点D到平面ABC的距离为R时，三棱锥DABC的体积最大， S△ABC＝×3×3×＝，∴三棱锥DABC体积的最大值为××3＝.答案：8.现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥PA1B1CD1，下部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．(1)若AB＝6m，PO1＝2m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？解：(1)...
