第2课时导数及其应用(建议用时：60分钟)一、选择题1．函数f(x)＝x2－lnx的单调递减区间为()．A．(－1,1]B．(0,1]C．[1，＋∞)D．(0，＋∞)解析由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由f′(x)＝x－≤0，解得00时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()．A．(－∞，－1)∪(0,1)B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1,0)D．(0,1)∪(1，＋∞)解析因为f(x)(x∈R)为奇函数，f(－1)＝0，所以f(1)＝－f(－1)＝0
当x≠0时，令g(x)＝，则g(x)为偶函数，且g(1)＝g(－1)＝0
则当x＞0时，g′(x)＝′＝＜0，故g(x)在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数．所以在(0，＋∞)上，当0＜x＜1时，g(x)＞g(1)＝0⇔＞0⇔f(x)＞0；在(－∞，0)上，当x＜－1时，g(x)＜g(－1)＝0⇔＜0⇔f(x)＞0
综上，得使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，选A
答案A4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a的取值范围是()．A．(0,2]B．(0,2)C．[，2)D．(，2)解析由题意可知f′(x)＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f′(x)＝3x2＋2ax＋1，所以根据导函数图象可得又a>0，解得aC．c>a>bD．a>c>b解析设g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)0，b>0，∴ab≤2＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号，∴ab的最大值为9
答案910．(2015·温州模拟)关于x的方程x3－3x2－a＝0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是________．解析由题意知使函数f(x)＝x3－3x2－a的极大值大于0
