课时提升作业(五十六)直线与圆锥曲线的位置关系(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.过抛物线y=2x2的焦点的直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=()【解析】选D.由y=2x2得x2=y,其焦点坐标为取直线y=,则其与y=2x2交于【方法技巧】与动直线相关值的求解技巧解决动直线与圆锥曲线相交的有关值的选择题、填空题,一般取其特殊位置探索其值即可.2.(2015·重庆模拟)已知双曲线C:=1(a>0,b>0),方向向量为d=(1,1)的直线与C交于两点A,B,若线段AB的中点为(4,1),则双曲线C的渐近线方程是()A.2x±y=0B.x±2y=0C.x±y=0D.x±y=0【解析】选B.设方向向量为d=(1,1)的直线方程为y=x+m,与双曲线方程联立,消去y,得:(b2-a2)x2-2a2mx-a2m2-a2b2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),因为线段AB的中点为(4,1),x1+x2==8,y1+y2=8+2m=2,解得m=-3,所以=8,即a=2b,所以双曲线C的渐近线方程是x±2y=0.【加固训练】双曲线C的方程为=1(a>0,b>0),l1,l2为其渐近线,F为右焦点,过F作l∥l2且l交双曲线C于R,交l1于M,若=λ,且λ∈则双曲线的离心率的取值范围为()【解析】选B.由题意得令l1:y=-x,l2:y=x,l:y=(x-c),由l交双曲线C于R,令解此方程组得故有=由l交l1于M,令解此方程组得故有由所以整理得a2=(1-λ)c2,即e2=又λ∈所以e2∈(2,3),即e∈().3.(2015·丽水模拟)斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为()【解题提示】设出直线方程,联立直线与椭圆方程,利用弦长公式求解.【解析】选C.设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l的方程为y=x+t,由消去y,得5x2+8tx+4(t2-1)=0.4.已知抛物线y2=8x的焦点为F,直线y=k(x-2)与此抛物线相交于P,Q两点,则=()A.B.1C.2D.4【解析】选A.设P(x1,y1),Q(x2,y2),由题意可知,|PF|=x1+2,|QF|=x2+2,则,联立直线与抛物线方程消去y得,k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,可知x1x2=4,故.故选A.【加固训练】过点A(1,0)作倾斜角为的直线,与抛物线y2=2x交于M,N两点,则|MN|=.【解析】斜率k=tan=1,所以过点A(1,0)的直线方程为y=x-1.将其代入抛物线方程y2=2x,得x2-4x+1=0.因为判别式Δ=16-4>0,所以设它的两根分别为x1,x2.于是x1+x2=4,x1x2=1.故|MN|=答案:5.(2015·杭州模拟)F为椭圆+y2=1的右焦点,第一象限内的点M在椭圆上,若MF⊥x轴,直线MN与圆x2+y2=1相切于第四象限内的点N,则|NF|等于()【解析】选A.因为MF⊥x轴,F为椭圆+y2=1的右焦点,所以F(2,0),,设lMN:y-=k(x-2),N(x,y),则O到lMN的距离解得k=(负值舍去).二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015·安顺模拟)在抛物线y=x2上关于直线y=x+3对称的两点M,N的坐标分别为.【解题提示】因为M,N两点关于直线y=x+3对称,所以kMN=-1,且M,N的中点在直线y=x+3上,亦即直线y=x+3是线段MN的垂直平分线.【解析】设直线MN的方程为y=-x+b,代入y=x2中,整理得x2+x-b=0,令Δ=1+4b>0,所以b>-.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-1,,由在直线y=x+3上,即+b=-+3,解得b=2,联立得答案:(-2,4),(1,1)【加固训练】已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A,B,则|AB|等于()A.3B.4C.3D.4【解析】选C.设直线AB的方程为y=x+b,A(x1,y1),B(x2,y2),得AB的中点又在直线x+y=0上,可求出b=1,则|AB|=7.已知曲线=1(a·b≠0,且a≠b)与直线x+y-1=0相交于P,Q两点,且·=0(O为原点),则的值为.【解析】将y=1-x代入=1,得(b-a)x2+2ax-(a+ab)=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.·=x1x2+y1y2=x1x2+(1-x1)·(1-x2)=2x1x2-(x1+x2)+1,所以即2a+2ab-2a+a-b=0,即b-a=2ab,所以=2.答案:28.已知椭圆+y2=1,过点M(m,0)作圆x2+y2=1的切线l交椭圆于A,B两点.若M为圆外一动点,则|AB|的最大值为.【解析】由题意知,|m|>1,设切线l的方程为y=k(x-m),由得,(1+4k2)x2-8k2mx+4k2m2-4=0,设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=,又l与圆x2+y2=1相切,所以=1,即m2k2=k2+1.所以|AB|=,当且仅当m=±时取等号,所以|AB|的最大值为2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·合肥模拟)已知椭圆T:=1(a>b>0)的离心率e=,A,B是椭圆T上两点,N(3,1)是线段AB的中点,线段AB的垂直平分线与椭圆T相交于C,D两点.(1)求直线AB的方程.(2)是否存在这样的椭圆,使得以CD为直径的圆过原点O?若存在,求出该椭圆方程;若不存在,请说明理由.【解...
