专题9.6双曲线【考纲解读】内容要求备注ABC圆锥曲线与方程中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质√1．掌握双曲线的定义、标准方程，能够根据条件利用待定系数法求双曲线方程．2．掌握双曲线的几何性质．3．了解双曲线的一些实际应用．【直击考点】题组一常识题1．已知双曲线两个焦点分别为F1(－5，0)，F2(5，0)，双曲线上一点P到F1，F2的距离的差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为__________________．【解析】由已知可知，双曲线的焦点在x轴上，且c＝5，a＝3，∴b＝4，故所求双曲线的标准方程为－＝1.2．已知双曲线－＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为________．【解析】双曲线－＝1的渐近线方程为3x±ay＝0，与已知方程比较系数得a＝2.3．已知双曲线－＝1(a>0)的右焦点为点(3，0)，则该双曲线的离心率等于________．题组二常错题4．动点P到点A(－4，0)的距离比到点B(4，0)的距离多6，则动点P的轨迹是__________________．【解析】依题意有|PA|－|PB|＝6<8＝|AB|，所以动点P的轨迹是双曲线的右支．5．双曲线的渐近线方程为y＝±x，虚轴长为2，则双曲线的方程为________________________．题组三常考题16．已知双曲线x2－＝1，则其离心率为________．【解析】因为a＝1，c＝＝2，所以e＝＝2.7．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为________________．【解析】由＝，得＝5，即＝5，所以＝4，得＝2，所以，渐近线方程为y＝±2x.8．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的实轴长为4，且双曲线的一条渐近线与直线2x－y＝0平行，则双曲线的方程为____________________．【解析】依题意，2a＝4，＝2，所以a＝2，b＝4，所以双曲线的方程为－＝1.【知识清单】考点1双曲线的定义及标准方程1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离．2．双曲线的标准方程标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形考点2双曲线的简单几何性质双曲线的几何性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝实虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长．a、b、c的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)2考点3直线和双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系：将直线的方程ykxm与双曲线的方程22221xyab(0,0)ab联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.222222222()20bakxamkxamab若2220,bak即bka，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交与一点；若2220,bak即bka，①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点．【考点深度剖析】除与椭圆有相同的重点及考点之外，在高考中还经常考查双曲线独有的性质渐近线，以双曲线为载体考查方程、性质，也是高考命题的热点．【重点难点突破】考点1双曲线的定义及标准方程【1-1】设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于_______．【答案】24【解析】双曲线的实轴长为2，焦距为12||FF＝2×5＝10.据题意和双曲线的定义知，2＝12PFPF－＝22PFPF－＝213PF，∴2168PFPF＝，＝.∴2221212||PFPFFF＋＝，∴12PFPF，∴12PFF1211S|PF||PF|=68=2422.【1-2】已知F1，F2为双曲线－＝1的左、右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则|AP|＋|AF2|的最小值为_______．【答案】－23【1-3】已知双曲线C：﹣=1的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为_______．【答案】﹣=1【解析】双曲线C：﹣=1的渐近线方程为y＝bxa, 双曲线C：﹣=1的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上,∴2c=10，...
