第一部分专题六第二讲圆锥曲线的概念与性质、与弦有关的计算问题A组1．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为4，则抛物线方程为(B)A．y2＝6xB．y2＝8xC．y2＝16xD．y2＝x[解析]依题意，设M(x，y)，因为|OF|＝，所以|MF|＝2p，即x＋＝2p，解得x＝，y＝p.又△MFO的面积为4，所以××p＝4，解得p＝4.所以抛物线方程为y2＝8x.2．若双曲线－＝1(a>0，b>0)和椭圆＋＝1(m>n>0)有共同的焦点F1、F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|＝(D)A．m2－a2B．－C．(m－a)D．m－a[解析]不妨设F1、F2分别为左、右焦点，P在双曲线的右支上，由题意得|PF1|＋|PF2|＝2，|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝＋，|PF2|＝－，故|PF1|·|PF2|＝m－a.3．(文)若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为(D)A．B．C．D．[解析]由题利用双曲线的渐近线经过点(3，－4)，得到关于a，b的关系式，然后求出双曲线的离心率即可．因为双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，∴3b＝4a，∴9(c2－a2)＝16a2，∴e＝＝，故选D．(理)已知双曲线－＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为(D)A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝1[解析]根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD为矩形．双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆的方程为x2＋y2＝4，不妨设交点A在第一象限，由y＝x，x2＋y2＝4得xA＝，yA＝，故四边形ABCD的面积为4xAyA＝＝2b，解得b2＝12，故所求的双曲线方程为－＝1，故选D．4．(2018·重庆一模)已知圆(x－1)2＋y2＝的一条切线y＝kx与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)有两个交点，则双曲线C的离心率的取值范围是(D)A．(1，)B．(1,2)C．(，＋∞)D．(2，＋∞)[解析]由题意，圆心到直线的距离d＝＝，所以k＝±，因为圆(x－1)2＋y2＝的一条切线y＝kx与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)有两个交点，所以>，所以1＋>4，所以e>2.5．(2018·济南一模)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP＝4FQ，则|QF|＝(B)A．B．3C．D．2[解析]如图所示，因为FP＝4FQ，所以＝，过点Q作QM⊥l垂足为M，则MQ∥x轴，所以＝＝，所以|MQ|＝3，由抛物线定义知|QF|＝|QM|＝3.6．(2018·泉州一模)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与点C的一个交点为点B，若AM＝MB，则p＝2.[解析]设直线AB：y＝x－，代入y2＝2px得：3x2＋(－6－2p)x＋3＝0，又因为AM＝MB，即M为A，B的中点，所以xB＋(－)＝2，即xB＝2＋，得p2＋4p－12＝0，解得p＝2，p＝－6(舍去)．7．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则PA1·PF2的最小值为－2.[解析]由已知得A1(－1,0)，F2(2,0)．设P(x，y)(x≥1)，则PA1·PF2＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝4x2－x－5.令f(x)＝4x2－x－5，则f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以当x＝1时，函数f(x)取最小值，即PA1·PF2取最小值，最小值为－2.8．已知椭圆C：＋＝1，点M与椭圆C的焦点不重合．若M关于椭圆C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在椭圆C上，则|AN|＋|BN|＝12.[解析]取MN的中点G，G在椭圆C上，因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，故有|GF1|＝|AN|，|GF2|＝|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF|1＋|GF|2)＝4a＝12.9．(2018·郴州三模)已知抛物线E：y2＝8x，圆M：(x－2)2＋y2＝4，点N为抛物线E上的动点，O为坐标原点，线段ON的中点P的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)点Q(x0，y0)(x0≥5)是曲线C上的点，过点Q作圆M的两条切线，分别与x轴交于A，B两点，求△QAB面积的最小值．[解析](1)设P(x，y)，则点N(2x,2y)在抛物线E：y2＝8x上，所以4y2＝16x，所以曲线C的方程为y2＝4x.(2)设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．令y＝0，可得x＝x0－，圆心(2,0)到切线的距离d＝＝2，整理可得(x－4x0)k2＋(4y0－2x0y0)k＋y－4＝0，设两条切线的斜率分别为k1，k2，则k1＋k2＝，k1k2＝，所以△QAB面积S＝|(x0－)－(x0－)|y0＝2·＝2＝2[(x0－1)＋＋2]．设t＝x0－1∈[4，＋∞)，则f(...
