安徽省舒城中学高三年级 2013─2014 学年寒假作业数学部分专题（四）空间向量在立体几何中的应用一．利用空间向量求空间角和距离（一)两条异面直线所成角的求法设两条异面直线 a，b 的方向向量为，其夹角为 θ，则 cos φ＝|cos θ|＝(其中 φ 为异面直线 a，b 所成的角)．[例 19] 如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1中，已知 AB＝4， AD＝3，AA1＝2.E、F 分别是线段 AB、BC 上的点，且 EB＝FB＝1.求直线 EC1与 FD1所成角的余弦值．解：以 A 为原点，，，分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、 F(4,1,0)、C1(4,3,2)，于是 EC1＝(1,3,2)，FD1＝(－4,2,2)．设 EC1与 FD1所成的角为 β，则cos β＝＝＝.变式训练 43,直三棱柱 ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、E 分别为 AB、BB′的中点．（1）求证：CE⊥A′D；（2）求异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值．变式训练 44,已知在几何体 A－BCED 中，∠ACB＝90°，CE⊥平面 ABC，平面 BCED 为梯形，且 AC＝CE＝BC＝4，DB＝1.（1）求异面直线 DE 与 AB 所成角的余弦值；（2）试探究在 DE 上是否存在点 Q，使得 AQ⊥BQ，并说明理由．（二）直线和平面所成的角的求法 如图所示，设直线 l 的方向向量为，平面 α 的法向量为，直线 l 与平面 α 所成的角为 φ，两向量与的夹角为 θ，则有 sin φ＝|cos θ|＝.[ 例 20] 如 图 ， 四 棱 锥中 ， ,， 侧 面为 等 边 三 角 形 ，．求与平面所成角的大小．解：以 C 为坐标原点，射线 CD 为 x 轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系 C—xyz。 设 D（1，0，0），则 A（2，2，0）、B（0，2，0）。 又设 ，，由得故 x=1。由又由即所以 设平面 SBC 的法向量，则又 故取 p=2 得。13(1,,),22S故 AB 与平面 SBC 所成的角为变式训练 45,在直三棱柱 ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°.（1）若异面直线 A1B 与 B1C1所成的角为 60°，求棱柱的高；（2）设 D 是 BB1的中点，DC1与平面 A1BC1所成的角为 θ，当棱柱的高变化时，求 sin θ 的最大值．变式训练 46,如图 4，在正三棱柱111ABCA B C中， ，D 是11A B 的中点，点 E 在11AC 上，且DEAE。（1）证明平面 ADE 平面11ACC A（2）求直线 AD 和平面 ABC 所成角的正弦值。 变式训练 47已知点 H...
