三垂线定理练习课一 教学目标1．进一步理解、记忆并应用三垂线定理及其逆定理；2．理解公式 cosθ1·cosθ2＝cosθ 的证明及其初步应用；（课本第 122 页第 3题）3．理解正方体的体对角线与其异面的面对角线互相垂直及其应用；4．了解课本第 33 页第 11 题．教学重点和难点教学的重点是进一步掌握三垂线定理及其逆定理并应用它们来解有关的题．教学的难点是在讲公式 cosθ1·cosθ2＝cosθ 应用时比较 θ2与 θ 的大小．教学设计过程师：上一节课我们讲了三垂线定理及其逆定理的证明并初步应用了这两个定理来解一些有关的题．今天我们要进一步应用这两个定理来解一些有关的题，先看例 1．例 1 如图 1，AB 和平面 α 所成的角是 θ1；AC 在平面 α 内，BB′⊥平面 α 于 B′，AC 和 AB 的射影 AB′成角 θ2，设∠BAC＝θ．求证：cosθ1·cosθ2＝cosθ．师：这是要证明三个角 θ1，θ2和 θ 的余弦的关系，θ1已经在直角△ABB′中，我们能否先作出两个直角三角形分别使 θ2和 θ 是这两个直角三角形中的锐角．生：作 B′D⊥AC 于 D，连 BD，则 BD⊥AC 于 D．这时 θ2是直角△B′DA 中的一个锐角，θ 是直角△ABD 中的一个锐角．用心 爱心 专心师：刚才的表述是应用三垂线定理及其逆定理时常常使用的“套话”，我们一定要很好理解并能熟练地应用．现在已经知道 θ1、θ2和 θ 分别在三个直角三角形中，根据三角函数中的余弦的定义分别写出这三个角的余弦，再来证明这公式师：这个公式的证明是利用余弦的定义把它们转化成邻边与斜边的比，为此要先作出直角三角形，为了作出直角三角形我们应用了三垂线定理．当然也可用它的逆定理．这个公式是在课本第 121 页总复习参考题中的第 3 题．我们为什么要提前讲这个公式呢？讲这个公式的目的是为了用这个公式，因为在解许多有关题时都要用到这公式．那我们要问在什么条件下可用这个公式？生：因为 θ1是斜线 AB 与平面 α 所成的角，所以只有当图形中出现斜线与平面所成的角时，才有可能考虑用这公式．师：为了在使用这个公式时方便、易记，我们规定 θ1表示斜线与平面所成的角，θ2是平面内过斜足的一条射线与斜线射影所成的角，θ 是这条射线与斜线所成的角．下面我们来研究一下这个公式的应用．应用这个公式可解决两类问题．第一是求值．即已知这公式中的两个角，即可求出第三个角或其余弦值．例如：θ＝60°，这时 θ2＜θ；当 θ...
