高考达标检测（四十二）圆锥曲线的综合问题——最值、范围、证明1．设F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，直线l为其左准线，直线l与x轴交于点P，线段MN为椭圆的长轴，已知|MN|＝8，且|PM|＝2|MF|.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过点P的直线与椭圆相交于不同两点A，B，求证：∠AFM＝∠BFN.解：(1)∵|MN|＝8，∴a＝4，又∵|PM|＝2|MF|，得－a＝2(a－c)，整理得2e2－3e＋1＝0⇒e＝或e＝1(舍去)．∴c＝2，b2＝a2－c2＝12，∴椭圆的标准方程为＋＝1.(2)证明：当AB的斜率为0时，显然∠AFM＝∠BFN＝0.满足题意．当AB的斜率不为0时，点P(－8,0)，F(－2,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my－8，代入椭圆方程整理得：(3m2＋4)y2－48my＋144＝0，则Δ＝(48m)2－4×144(3m2＋4)，y1＋y2＝，y1·y2＝.∴kAF＋kBF＝＋＝＋＝＝＝0，∴kAF＋kBF＝0，从而∠AFM＝∠BFN.综上可知：恒有∠AFM＝∠BFN.2．(2017·大庆模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．(1)若AF＝2FB，求直线AB的斜率；(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．解：(1)依题意知F(1,0)，设直线AB的方程为x＝my＋1.将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2－4my－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.①因为AF＝2FB，所以y1＝－2y2.②联立①和②，消去y1，y2，得m＝±.所以直线AB的斜率是±2.(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB.因为2S△AOB＝2··|OF|·|y1－y2|＝＝4，所以当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.3．(2017·贵阳适应性考试)已知椭圆C1：＋y2＝1(a＞1)的长轴长、短轴长、焦距分别为|A1A2|，|B1B2|，|F1F2|，且|F1F2|2是|A1A2|2与|B1B2|2的等差中项．(1)求椭圆C1的方程；(2)若曲线C2的方程为(x－t)2＋y2＝(t2＋t)2，过椭圆C1左顶点的直线l与曲线C2相切，求直线l被椭圆C1截得的线段长的最小值．解：(1)由题意得|B1B2|＝2b＝2，|A1A2|＝2a，|F1F2|＝2c，a2－b2＝c2，又2×(2c)2＝(2a)2＋22，解得a2＝3，c2＝2，故椭圆C1的方程为＋y2＝1.(2)由(1)知，可取椭圆C1的左顶点为A1(－，0)，设直线l的方程为y＝k(x＋)．由直线l与曲线C2相切得＝(t＋)t，整理得＝t.又0＜t≤，所以0＜≤，解得0＜k2≤1.由消去y，整理得(3k2＋1)x2＋6k2x＋9k2－3＝0.直线l被椭圆C1截得的线段一端点为A1(－，0)，设另一端点为B，解方程可得点B的坐标为，所以|A1B|＝＝.令m＝(1＜m≤)，则|A1B|＝＝.由函数y＝3m－的性质知y＝3m－在区间(1，]上是增函数，所以当m＝时，y＝3m－取得最大值2，从而|A1B|min＝.4．(2017·沈阳质量监测)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝6，直线y＝kx与椭圆交于A，B两点．(1)若△AF1F2的周长为16，求椭圆的标准方程；(2)若k＝，且A，B，F1，F2四点共圆，求椭圆离心率e的值；(3)在(2)的条件下，设P(x0，y0)为椭圆上一点，且直线PA的斜率k1∈(－2，－1)，试求直线PB的斜率k2的取值范围．解：(1)由题意得c＝3，根据2a＋2c＝16，得a＝5.结合a2＝b2＋c2，解得a2＝25，b2＝16.所以椭圆的方程为＋＝1.(2)法一：由得x2－a2b2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．所以x1＋x2＝0，x1x2＝，由AB，F1F2互相平分且共圆，易知，AF2⊥BF2，因为F2A＝(x1－3，y1)，F2B＝(x2－3，y2)，所以F2A·F2B＝(x1－3)(x2－3)＋y1y2＝x1x2＋9＝0.即x1x2＝－8，所以有＝－8，结合b2＋9＝a2，解得a2＝12(a2＝6舍去)，所以离心率e＝.(若设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)相应给分)法二：设A(x1，y1)，又AB，F1F2互相平分且共圆，所以AB，F1F2是圆的直径，所以x＋y＝9，又由椭圆及直线方程综合可得：由前两个方程解得x＝8，y＝1，将其代入第三个方程并结合b2＝a2－c2＝a2－9，解得a2＝12，故e＝.(3)由(2)的结论知，椭圆方程为＋＝1，由题可设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，k1＝，k2＝，所以k1k2＝，又＝＝－，即k2＝－，由－2＜k1＜－1可知，＜k2＜.即直线PB的斜率k2的取值范围是.
