2017高考数学一轮复习第八章解析几何第9讲曲线与方程(理)习题A组基础巩固一、选择题1．(2015·长沙一中高三月考)方程(2x＋3y－1)(－1)＝0表示的曲线是()A．两条直线B．两条射线C．两条线段D．一条直线和一条射线[答案]D[解析]原方程可化为或－1＝0，即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线．2．到两定点A(0,0)、B(3,4)距离之和为5的点的轨迹是()A．椭圆B．AB所在的直线C．线段ABD．无轨迹[答案]C[解析] |AB|＝5，∴到A、B两点距离之和为5的点的轨迹是线段AB.3．若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，则P的轨迹方程为()A．y2＝8xB．y2＝－8xC．x2＝8yD．x2＝－8y[答案]C[解析]由题意知P到F(0,2)的距离比它到y＋4＝0的距离小2，因此P到F(0,2)的距离与到直线y＋2＝0的距离相等，故P的轨迹是以F为焦点，y＝－2为准线的抛物线，所以P的轨迹方程为x2＝8y.4．在△ABC中，已知A(－1,0)，C(1,0)，且|BC|，|CA|，|AB|成等差数列，则顶点B的轨迹方程是()A.＋＝1B．＋＝1(x≠±)C.＋＝1D．＋＝1(x≠±2)[答案]D[解析] |BC|，|CA|，|AB|成等差数列，∴|BC|＋|BA|＝2|CA|＝4.∴点B的轨迹是以A，C为焦点，半焦距c＝1，长轴长2a＝4的椭圆．又B是三角形的顶点，A，B，C三点不能共线，故所求的轨迹方程为＋＝1，且y≠0.5．(2015·北京朝阳上学期期末)已知正方形的四个顶点分别为O(0,0)、A(1,0)、B(1,1)、C(0,1)，点D、E分别在线段OC、AB上运动，且|OD|＝|BE|，设AD与OE交于点G，则点G的轨迹方程是()A．y＝x(1－x)(0≤x≤1)B．x＝y(1－y)(0≤y≤1)C．y＝x2(0≤x≤1)D．y＝1－x2(0≤x≤1)[答案]A[解析]设D(0，λ)，E(1,1－λ)，0≤λ≤1，所以线段AD的方程为x＋＝1(0≤x≤1)，线段OE的方程为y＝(1－λ)x(0≤x≤1)，联立方程组(λ为参数)，消去参数λ得点G的轨迹方程为y＝x(1－x)(0≤x≤1)，故A正确．6．△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是()A.－＝1B．－＝1C.－＝1(x＞3)D．－＝1(x＞4)[答案]C[解析]如图，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x＞3)．二、填空题7．长为3的线段AB的端点A、B分别在x、y轴上移动，动点C(x，y)满足AC＝2CB，则动点C的轨迹方程____________________.[答案]x2＋＝1[解析]设A(a,0)，B(0，b)，则a2＋b2＝9.又C(x，y)，则由AC＝2CB，得(x－a，y)＝2(－x，b－y)．即即代入a2＋b2＝9，并整理，得x2＋＝1.8．已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为____________________.[答案](x－10)2＋y2＝36(y≠0)[解析]方法一：直接法．设A(x，y)，y≠0，则D(，)．∴|CD|＝＝3.化简，得(x－10)2＋y2＝36.由于A、B、C三点构成三角形，所以A不能落在x轴上，即y≠0.方法二：定义法．如图，设A(x，y)，D为AB的中点，过A作AE∥CD交x轴于E. |CD|＝3，∴|AE|＝6，则E(10,0)，∴A到E的距离为常数6.∴A的轨迹为以E为圆心，6为半径的圆，即(x－10)2＋y2＝36.又A，B，C不共线，故A点纵坐标y≠0，故A点轨迹方程为(x－10)2＋y2＝36(y≠0)．9．设P是圆x2＋y2＝100上的动点，点A(8,0)，线段AP的垂直平分线交半径OP于M点，则点M的轨迹为____________________.[答案]椭圆[解析]如图，设M(x，y)，由于l是AP的垂直平分线，于是|AM|＝|PM|，又由于10＝|OP|＝|OM|＋|MP|＝|OM|＋|MA|，即|OM|＋|MA|＝10，也就是说，动点M到O(0,0)及A(8,0)的距离之和是10，故动点M的轨迹是以O(0,0)、A(8,0)为焦点，中心在(4,0)，长半轴长是5的椭圆．10．若过抛物线y2＝4x的焦点作直线与其交于M、N两点，作平行四边形MONP，则点P的轨迹方程为____________________.[答案]y2＝4(x－2)[解析]设直线方程为y＝k(x－1)，点M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x，y)，由OM＝NP，得(x1，y1)＝(x－x2，y－y2)．得x1＋x2＝x，y1＋y2＝y.由联立得x＝x1＋x2＝.y＝y1＋y2＝，消去参数k，得y2＝4(x－2)．三、解答题11．设圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.[答案](x－)2...
