第四章单元质量检测时间：90分钟分值：100分一、选择题(每小题4分，共40分)1．复数z＝3－(i为虚数单位)的模为()A．2B．3C.D．4解析：由z＝3－＝3－＝3＋i.所以|z|＝＝.故选C.答案：C2．已知平面向量a＝(－2，m)，b＝(1，)，且(a－b)⊥b，则实数m的值为()A．－2B．2C．4D．6解析：因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝a·b－b2＝0，即－2＋m－4＝0，解得m＝2.答案：B3．计算2＝()A.－iB.＋iC.－iD.＋i解析：原式＝＝＝－2＝－＝＋i.答案：D4．已知平面向量a＝(1，－2)，b＝(2,1)，c＝(－4，－2)，则下列结论中错误的是()A．向量c与向量b共线B．若c＝λ1a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则λ1＝0，λ2＝－2C．对同一平面内任意向量d，都存在实数k1，k2，使得d＝k1b＋k2cD．向量a在向量b方向上的投影为0解析：选项A正确，c＝－2b，所以向量c与向量b共线；选项B正确，由c＝λ1a＋λ2b可知，解得选项C错误，向量c与向量b共线，所以由平面向量基本定理可知，它们的线性组合不能表示出同一平面内的任意向量；选项D正确，a·b＝0，所以a⊥b，夹角是90°，向量a在向量b方向上的投影为|a|cos90°＝0.答案：C5．P是△ABC内的一点，AP＝(AB＋AC)，则△ABC的面积与△ABP的面积之比为()A．3B．6C．2D.解析：设D是BC的中点，则AB＋AC＝2AD，由题意，得AP＝AD，所以D在AP上，且P是△ABC的重心．故＝＝3.答案：A6．设i是虚数单位，若复数为实数，则实数a为()A．2B．－2C．－D.解析：由于＝＝，依题意知a－2＝0，则a＝2.答案：A7．平面上有四个互异点A，B，C，D，已知(DB＋DC－2DA)·(AB－AC)＝0，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．无法确定解析：由(DB＋DC－2DA)·(AB－AC)＝0，得[(DB－DA)＋(DC－DA)]·(AB－AC)＝0，所以(AB＋AC)·(AB－AC)＝0.所以|AB|2－|AC|2＝0，∴|AB|＝|AC|，故△ABC是等腰三角形．答案：B8．已知正方形ABCD(字母顺序是A→B→C→D)的边长为1，点E是AB边上的动点(可以与A或B重合)，则DE·CD的最大值是()A．1B.C．0D．－1解析：建立直角坐标系如图所示，设E(x,0)，x∈[0,1]，则D(0,1)，C(1,1)，B(1,0)，所以DE·CD＝(x，－1)·(－1,0)＝－x，当x＝0时取得最大值0.答案：C9．如图所示，P为△AOB所在平面上一点，向量OA＝a，OB＝b，且P在线段AB的垂直平分线上，向量OP＝c.若|a|＝3，|b|＝2，则c·(a－b)的值为()A．5B．3C.D.解析：设AB的中点为D，连接OD，则c＝OP＝OD＋DP，所以c·(a－b)＝(OD＋DP)·BA＝OD·BA＋DP·BA＝OD·BA＝(a＋b)·(a－b)＝(|a|2－|b|2)＝.答案：C10．已知O为平面内一点，A，B，C是平面内不共线的三点，且OP＝(OB＋OC)＋λ，λ∈(0，＋∞)，则P点的轨迹一定过△ABC的()A．内心B．垂心C．重心D．外心解析：设D点为△ABC中BC边的中点，则已知等式可变为OP＝OD＋λ，DP＝λ，等式两边点乘向量BC得BC·DP＝λ＝λ(－|BC|＋|BC|)＝0，所以BC⊥DP.故P点的轨迹一定通过△ABC的外心．答案：D二、填空题(每小题4分，共16分)11．计算2014＝________.解析：原式＝2014＝2014＝(－i)2014＝i2014＝(i4)503·i2＝－1.答案：－112．在OA为边，OB为对角线的矩形中，OA＝(－3,1)，OB＝(－2，k)，则实数k＝________.解析：AB＝OB－OA＝(－2，k)－(－3,1)＝(1，k－1)，因为OA⊥AB，所以OA·AB＝0，即－3＋k－1＝0，解得k＝4.答案：413．已知在平面直角坐标系中，O(0,0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2,3)，动点P(x，y)满足不等式0≤OP·OM≤1,0≤OP·ON≤1，则z＝OQ·OP的最大值为________．解析：OP＝(x，y)，OM＝(1,1)，ON＝(0,1)，∴OP·OM＝x＋y，OP·ON＝y，即在条件下，求z＝2x＋3y的最大值，由线性规划知识，当x＝0，y＝1时，zmax＝3.答案：314．已知点A(3,0)，B(0,3)，C(cosα，sinα)，若AC·BC＝－1，则的值为________．解析：由题意，得AC＝(cosα－3，sinα)，BC＝(cosα，sinα－3)，所以AC·BC＝cosα(cosα－3)＋sinα(sinα－3)＝－1，即sinα＋cosα＝.两边平方，得1＋2sinαcosα＝，所以2sinαcosα＝－.原式＝＝＝－.答案：－三、解答题(共4小题，共44分，解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤．)15．(10分)已知复数z＝bi(b∈R)，是实...
