(新课程)高中数学-4-1-2-数学归纳法应用举例(习题课)课件-新人教A版选修4-5VIP免费

第2课时数学归纳法应用举例(习题课)【课标要求】1．进一步理解数学归纳法原理．2．会用数学归纳法证明整除问题以及平面几何中的有关问题．【核心扫描】1．利用数学归纳法证明整除问题，注意“添项”与“减项”等变形技巧．(难点)2．证明几何问题时，要正确分析由n＝k到n＝k＋1时几何图形的变化规律．(难点)题型一用数学归纳法证明整除性问题【例1】已知数列{an}满足a1＝0，a2＝1，当n∈N*时，an＋2＝an＋1＋an，求证：数列{an}的第4m＋1项(m∈N*)能被3整除．[思维启迪]数学归纳法证明整除问题的方法与其证明等式和不等式的方法一样．当由n＝k到n＝k＋1的证明时要注意分解成几个含除式的多项式的和差变化．证明(1)当m＝1时，a4m＋1＝a5＝a4＋a3＝(a3＋a2)＋(a2＋a1)＝(a2＋a1)＋2a2＋a1＝3a2＋2a1＝3＋0＝3.即当m＝1时，第4m＋1项能被3整除．(2)假设当m＝k时，a4k＋1能被3整除，则当m＝k＋1时，a4(k＋1)＋1＝a4k＋5＝a4k＋4＋a4k＋3＝2a4k＋3＋a4k＋2＝2(a4k＋2＋a4k＋1)＋a4k＋2＝3a4k＋2＋2a4k＋1.显然，3a4k＋2能被3整除，又由假设知a4k＋1能被3整除．∴3a4k＋2＋2a4k＋1能被3整除．即当m＝k＋1时，a4(k＋1)＋1也能被3整除．由(1)和(2)知，对于n∈N*，数列{an}中的第4m＋1项能被3整除．规律方法本题若从递推式入手，设法求出通项公式，会相当困难．这时，可转向用数学归纳法证明．【变式1】用数学归纳法证明：(x＋1)n＋1＋(x＋2)2n－1(n∈N*)能被x2＋3x＋3整除．证明(1)当n＝1时，(x＋1)1＋1＋(x＋2)2－1＝x2＋3x＋3，显然命题成立．(2)假设n＝k(k≥1)时，命题成立，即(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1能被x2＋3x＋3整除，则当n＝k＋1时，(x＋1)k＋2＋(x＋2)2k＋1＝(x＋1)k＋2＋(x＋1)(x＋2)2k－1＋(x＋2)2k＋1－(x＋1)(x＋2)2k－1＝(x＋1)[(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1]＋(x＋2)2k－1(x2＋3x＋3)．由假设可知上式可被x2＋3x＋3整除，即n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)可知原命题成立．题型二探索问题【例2】若不等式1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋13n＋1>a24对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论．[思维启迪]由几个简单的特殊形式找出a的最大值，然后用数学归纳法进行证明即可．解取n＝1，11＋1＋11＋2＋13×1＋1＝2624，令2624>a24⇒a<26，而a∈N*，∴取a＝25.下面用数学归纳法证明：1n＋1＋1n＋2＋…＋13n＋1>2524.(1)n＝1时，已证结论正确．(2)假设n＝k(k∈N*)时，1k＋1＋1k＋2＋…＋13k＋1>2524，则当n＝k＋1时，有1k＋1＋1＋1k＋1＋2＋…＋13k＋1＋13k＋2＋13k＋3＋13k＋1＋1＝1k＋1＋1k＋2＋…＋13k＋1＋13k＋2＋13k＋3＋13k＋4－1k＋1>2524＋13k＋2＋13k＋4－23k＋1. 13k＋2＋13k＋4＝6k＋19k2＋18k＋8>23k＋1，∴13k＋2＋13k＋4－23k＋1>0.∴1k＋1＋1＋1k＋1＋2＋…＋13k＋1＋1>2524.即n＝k＋1时，结论也成立．由(1)(2)可知，对一切n∈N*，都有1n＋1＋1n＋2＋…＋13n＋1>2524.故a的最大值为25.规律方法利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是：先通过观察、判断，猜想出结论，然后用数学归纳法证明．这种分析问题和解决问题的思路是非常重要的，特别是在求解存在性或探索性问题时．【变式2】已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，是否存在正整数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)？如果存在，求出m最大的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由．解f(1)＝36，f(2)＝108，f(3)＝360猜想：能整除f(n)的最大整数是36.用数学归纳法证明如下：(1)当n＝1时，f(1)＝(2×1＋7)×3＋9＝36，能被36整除．(2)假设n＝k(k≥1)时，f(k)能被36整除，即(2k＋7)·3k＋9能被36整除．则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)．由归纳假设3[(2k＋7)·3k＋9]能被36整除，而3k－1－1是偶数．∴18(3k－1－1)能被36整除．∴当n＝k＋1时，f(n)能被36整除．由(1)(2)可知，对任意n∈N*，f(n)能被36整除．题型三用数学归纳法证明几何问题【例3】平面上有n个圆，每两圆交于两点，每三圆不过同一点，求证这n个圆分平面为n2－n＋2个部分．[思维启迪]先由n＝1,2,3时找出...