课时跟踪检测(六十七)不等式的证明1．(2014·江苏高考)已知x>0，y>0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.2．已知n≥2，求证：>－.3．已知a，b，c均为正数，求证：(1)＋＋≥a＋b＋c；(2)＋＋≥.4．已知a>2，求证：loga(a－1)0，y>0，所以1＋x＋y2≥3>0，1＋x2＋y≥3>0，故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3·3＝9xy.2．证明：要证>－，只需证>.即>，只需证＋>，只需证>0，只需证n>1，因为n≥2>1，所以>－.3．证明：(1)＋＋＝＋＋－(a＋b＋c)≥2＋2＋2－(a＋b＋c)＝a＋b＋c(当且仅当a＝b＝c时等号成立)，得证．(2)＋＋＝＋＋－3＝(a＋b＋c)－3＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(a＋c)]·－3≥×3×3－3＝－3＝，当且仅当a＝b＝c时等号成立，得证．4．证明：∵a>2，∴a－1>1，∴loga(a－1)>0，log(a＋1)a>0.由于＝loga(a－1)loga(a＋1)<2＝2.∵a>2，∴00，>0，∴＋≥.故要证明结论成立，只要证明≥成立．即证1－xy≥成立即可．∵(y－x)2≥0，有－2xy≥－x2－y2，∴(1－xy)2≥(1－x2)(1－y2)，∴1－xy≥>0.∴不等式成立．法二：综合法：∵≤＝≤＝1－|xy|，∴＋≥≥，∴原不等式成立．8．解：(1)f(x)＝当x≥1时，由f(x)＝3x－3≤1得x≤，故1≤x≤；当x<1时，由f(x)＝1－x≤1得x≥0，故0≤x<1.所以f(x)≤1的解集为M＝.(2)证明：由g(x)＝16x2－8x＋1≤4，得162≤4，解得－≤x≤.因此N＝，故M∩N＝.当x∈M∩N时，f(x)＝1－x，于是x2f(x)＋x·[f(x)]2＝xf(x)[x＋f(x)]＝x·f(x)＝x(1－x)＝－2≤.
